Завдання від Гуллівера, або Геометрія подібності в романах Джонатана Свіфта
Кандидат педагогічних наук Наталія Карпушина.
У знаменитому романі «Подорожі Гуллівера» ірландського письменника-сатирика, поета і громадського діяча Джонатана Свіфта (1667-1745) його герой Лемюель Гуллівер здійснює чотири захоплюючих подорожі. Відпливаючи кожен раз з цілком конкретного, реально існуючого на карті портового міста, він несподівано потрапляє в дивовижні країни. Спочатку - в ліліпутів, де живуть дуже маленькі люди, і він постає перед ними як людина-гора. Потім виявляється в державі Бробдингнег, населеному людьми-велетнями, і перетворюється там в ліліпута. У третю подорож Гуллівера занесло на літаючий острів Лапута, а в четвертому - в країну гуінгнмов, де світом правлять коні. Так ви самі все це знаєте, адже без роману Д. Свіфта не виріс, напевно, жодна дитина. Але давайте задумаємося над тим, що геометрія, а саме ідея подібності, грає в романі дуже важливу роль, у всякому разі, в двох перших подорожах Гуллівера.
Безсумнівно, філософи мають рацію, стверджуючи, що поняття великого і малого суть поняття відносні.
Д. Свіфт. Подорож в Бробдингнег
ДЮЙМ ПРОТИ фути
У країні ліліпутів англійської футу відповідав дюйм. Це означає, що всі її мешканці і оточували їх предмети були в 12 разів менші за ті, що оточують нас, по висоті, товщині і т.д. Ось що розповів головний герой:
«Середнє зростання тубільців трохи менше шести дюймів, і йому точно відповідає зростання як тварин, так і рослин: наприклад, коні і бики не бувають там вище чотирьох або п'яти дюймів, а вівці вище півтора дюймів; гуси дорівнюють нашому горобця, і так далі аж до самих крихітних створінь ... Найвищі дерева в Ліліпутії не більш семи футів ... Вся інша рослинність має відповідні розміри ... »
В очах Гуллівера столиця Ліліпутії, куди його доставили за велінням імператора, була схожа на театральну декорацію, а оточувала місто місцевість здавалася одним великим квітучим садом. Висловлюючись мовою геометрії, мініатюрний світ ліліпутів, детально описаний Свіфтом, був подібний до світу Гуллівера.
Зі спогадів Гуллівера:
«... за наказом імператора для мене була виготовлена ліжко. До мене були привезені шістсот матраців звичайної [для ліліпутів] величини; сто п'ятдесят штук були зшиті разом, і таким чином утворився один матрац, що підходить для мене в довжину і ширину; чотири таких матраца поклали один на інший, але, незважаючи на це, моя постіль була не набагато м'якше гладкого кам'яної підлоги. За таким розрахунком були зроблені також простирадла, ковдри і покривала ... »
Далі герой повідомляє:
«... в останньому пункті умов мого звільнення імператор постановляє видавати мені їжу і питво в кількості, достатній для прогодування 1728 ліліпутів».
Все вірно: за один прийом їжі Гуллівер мав з'їдати і випивати в 12 3 = 1728 разів більше ліліпута. У книзі розповідається, як проводився цей розрахунок:
«Через деякий час я запитав у одного мого придворного одного, яким чином була встановлена така точна цифра. На це він відповів, що математики його величності, визначивши висоту мого зросту. і знайшовши, що ця висота знаходиться в такому ставленні до висоти ліліпута, як дванадцять до одиниці, прийшли до висновку, що обсяг мого тіла дорівнює принаймні обсягом один тисяча сімсот двадцять вісім тіл ліліпутів, а отже, воно вимагає в стільки ж разів більше їжі ».
Як бачимо, ліліпути непогано розбиралися в геометрії і вміло застосовували її закони на практиці. Гідний згадки, наприклад, оригінальний спосіб, за допомогою якого швачки зняли з Гуллівера мірки, щоб зшити для нього білизну.
«Вони зміряли великий палець [моєї] правої руки і цим обмежилися. За допомогою математичного розрахунку, заснованого на тому, що коло кисті вдвічі більше довжини пальця, окружність шиї вдвічі більше окружності кисті, а окружність талії вдвічі більше окружності шиї, і за допомогою старої моєї сорочки, яку я розстелив на землі перед ними як зразок, вони пошили мені білизна цілком по зростанню ».
Описаний спосіб - ще одне свідчення тямущість ліліпутів і їх знань в області математики - цілком можна застосувати на практиці. Зазначене співвідношення розмірів перерахованих частин тіла людини дуже близько до дійсного, а довжина великого пальця руки Гуллівера справедливо була обрана бєлошвєйками в якості одиниці вимірювання. До того ж цей спосіб надзвичайно простий, оскільки вимагає зняття всього однієї мірки.
ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ І БЛЕСТРЕГ
У систему заходів, прийняту в Ліліпутії, входили як мінімум три одиниці довжини. Найменша з них - дрерр. Про неї в розмові з Гуллівером згадав головний секретар по таємним справах держави:
«Ви, мабуть, помітили, що каблуки на черевиках його величності на один дрерр нижче, ніж у всіх придворних (дрерр дорівнює чотирнадцятої частини дюйма)».
Про другий одиниці довжини герой почув від місцевих моряків. Перед тим як відправитися вплав до берегів імперії Блефуску, відокремленої від Ліліпутії протокою, Гуллівер поцікавився його глибиною. І ось що дізнався:
«... [моряки] повідомили мені, що при високій воді глибина в середній частині протоки дорівнює сімдесяти глюмглеффам, що становить близько шести європейських футів».
Нарешті, найбільш велика одиниця довжини зустрілася герою в документі, що містив умови його звільнення. В папері зазначалося, що володіння «наймогутнішого імператора Ліліпутії, відради і жаху всесвіту» охоплюють в окружності п'ять тисяч і блестрегов, або близько дванадцяти миль.
Задача.Виразіте дрерр, глюмглефф і блестрег в одиницях метричної системи заходів. Визначте приблизні розміри і площу держави ліліпутів, а також його столиці, яка, за словами Гуллівера, в плані мала форму правильного чотирикутника і була оточена стіною зі стороною, що дорівнює п'ятистам футів.
У своєму наступному подорож герой Свіфта потрапив в країну велетнів. У ній дюйму відповідав фут, тому всі люди, тварини, рослини і речі в 12 разів перевищували за розміром наші земні. У порівнянні з жителями Бробдінгнега Гуллівер виглядав карликом. Карлик королеви, нижче якого не було людини у всій країні, - і той здавався поруч з ним величезного зросту.
Як згадував пізніше Гуллівер, при першій зустрічі з велетнями його охопили сум'яття і жах. Рятуючись біг-ством, він сховався в поле серед стебел ячменю, але ледь не загинув під ногами одного з велетнів. Дамо слово самому герою:
«... один з женців підійшов на десять ярдів над нивою, в якій я лежав; злякавшись, що при наступному його етапі я буду розтоптаний або розрізаний навпіл серпом, я заволав, що є сили ».
Але може, Гуллівер перебільшив від страху загрожувала йому небезпека?
Задача.По оцінці Гуллівера, довжина кроку велетня становила десять ярдів. Чи так це? Йому дійсно було від чого запанікувати?
Чи пам'ятаєте ви, як Гулівер визначив розміри столиці країни велетнів? Читаємо в «Подорожі в Бробдингнег»:
«Місто розташоване по обидва береги перетинає його річки. Він тягнеться в довжину на три глонглюнга (близько п'ятдесяти чотирьох англійських миль), а в ширину - на два з половиною глонглюнга. Я особисто зробив ці вимірювання на карті, складеній за наказом короля і навмисне для мене розкладеної на землі, де вона займала простір в сто футів *. Роззувшись, я пройшов кілька разів по діаметру окружності карти, порахував число моїх кроків і без праці визначив за масштабом протяг міста ».
Задача.На чому заснований описаний спосіб вимірювання? Як в даному випадку застосовується ідея подібності?
Розповідаючи про визначні пам'ятки столиці Бробдінгнега, Гуллівер зауважує:
«Мені дуже хотілося відвідати головний храм і особливо здіймалася над ним вежу, яка вважалася найвищою в королівстві ... Однак я, зізнатися, розчарувався в своїх очікуваннях, так як висота вежі була не більше трьох тисяч футів, рахуючи від підстави до вершини; отже, якщо взяти до уваги різницю в зрості європейця і тубільця, вежа ця не уявляла собою нічого гідного подиву, бо (якщо пам'ять не зраджує мені) вона далеко не досягала висоти дзвіниці в Солсбері **. у відповідній пропорції ».
Задача.На скільки футів (зрозуміло, у відповідній пропорції) споруда велетнів була нижче дзвіниці в місті Солсбері, висота якої дорівнює 404 футів?
(Відповіді в наступному номері.)
Малюнки Жана Гранвіля виконані в 1838 році (з книги Д. Свіфта «Подорож Гуллівера». - М. ОГИЗ, 1947).
Подоба - перетворення простору, при якому лінійні розміри фігур змінюються в одному і тому ж відношенні, тобто множаться на одне і те ж число К, зване коефіцієнтом подібності. Відповідно ставлення лінійних розмірів подібних фігур одно К, відношення площ - До 2. а відношення обсягів - До 3.
1 дюйм дорівнює 1/12 фута, або 2,54 см.
1 ярд дорівнює 3 футів, або 0,914 м.
* Маються на увазі, звичайно, квадратні фути. Переклад неточний.
** Йдеться про вежі місцевого кафедрального собору з найвищим в Британії шпилем.