Завдання 3.12. До кривошипа. рівномірно обертається в площині малюнка навколо точки з кутовою швидкістю. прикріплений шатун. з'єднаний з коромислом. Визначити прискорення точки шатуна, кутові швидкості. і кутові прискорення. шатуна і коромисла.
Рішення. Почнемо з визначення швидкостей. Шатун здійснює плоскопараллельное рух. Рух точки можна легко визначити. Тому за полюс приймемо точку і за вихідними даними визначимо швидкість і прискорення точки А шатуна. Так як точку належить і рівномірно обертається кривошипа. то по (2.16). Вектор перпендикулярний до і спрямований в бік обертання кривошипа. За формулами (2.17) і (2.18) при. . . Вектор нормального прискорення спрямований від точки до точки О. Точка належить обертається коромисла і шатуну одночасно. Отже, траєкторія точки В відома. Точки В рухається по колу радіуса ВС. Тому вектор швидкості перпендикулярний до і спрямований так, як показано на малюнку 2 до задачі. Останнє випливає з теореми про проекціях швидкостей. З цієї ж теоремі знаходиться і величина. Проектуючи вектори на вісь. отримаємо:. Або.
Щоб знайти . побудуємо миттєвий центр швидкостей шатуна АВ. З трикутника видно, що. Або.
Переходимо до визначення прискорень. Вектори нормальних прискорень окремих точок тіл, які роблять обертальний рух, спрямовані до осі обертання. Тобто їх напрямки завжди відомі, якщо відома вісь обертання. У цьому завданню осі обертання проходять через точки перпендикулярно площині малюнка. Осі, що проходять через точки. - нерухомі, а дві інші - рухливі, «миттєві» осі. Вектори дотичних прискорень окремих точок обертових тел спрямовані по дотичним до їх траєкторіях, але часто буває не відомо в який бік. Якщо напрями векторів лінійних швидкостей точок вже відомі, то невідомі вектори дотичних прискорень будемо направляти в ту ж сторону. Це відповідає припущенню про прискорений рух точок. Кутові прискорення тіл, що обертаються, пов'язані з відповідними дотичними ускорениями, напрямки їх узгоджені. З урахуванням сказаного, на рис.2 показані вектори дотичних прискорень точок і кутових прискорень тел.
З огляду на, що точки і описують кола радіуса і відповідно, запишемо векторне рівняння (3.20):
де. . . . . .Все вектори прискорень показані на малюнку 2 до задачі. Модулі векторів. поки невідомі.
Спроектуємо обидві частини векторного рівняння (*) спочатку на вісь Вх1 (напрямок ВА), потім на вісь Вх2 (напрямок ВС):
Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:
Математично знак мінус вказує на те, що вектори. показані на малюнку 2, в дійсності спрямовані в зворотну сторону, і їх справжні напрямки, що задовольняють рівняння (*), не збігаються з напрямками відповідних векторів лінійних швидкостей. які вже були визначені. З механічної сторони не збіг напрямків відповідних векторів лінійних швидкостей і прискорень означає, що точка в даний момент робить миттєво уповільнене рух.
Обчислимо, нарешті, модуль прискорення точки і кутові прискорення шатуна і коромисла -.
Знак (-) вобоіх випадках пов'язаний з отриманими знаками для відповідних проекцій векторів і вказує на те, що обертання шатуна АВ ікоромисла ВС з розглянутого положення є уповільненим. Іншими словами, справжні напрямки криволінійних стрілок протилежно тому, що показано на малюнку 2 до задаче.Ответ:,,
Завдання 3.13. Вантаж 3 рухається СОГ-ласно закону. Опрі-де-лити швидкості і ус-ко-ренію точок. . рухомого блоку в мо-мент часу. якщо радіус рухомого блоку
Рішення: Вантаж 3 рухається поступально вниз. Його швидкість. при; . прискорення. Блок 1 дви-жется плоскопаралельному. Так як ліва частина нитки нерухома, то точ-ка має швидкість. Отже, точка - мгно-вен-ний центр швидкостей (МЦС) блоку 1. Так як прослизання нитки по блоку 1 відсутня, значення швидкості в точці дорівнює значенню швидкості гру через 3, тобто. Кутова швидкість блоку 1 при дорівнює. Знайдемо швидкості точок і рухомого блоку. ; .
Визначимо прискорення точок А, В, С плоскої фігури. Дотичне прискорення точки дорівнює прискоренню вантажу 3:. Так як . то і; . Значення. так як точка Про рухається прямолінійно. Отже, модуль і напрям прискорення точки відомі, поетів-то-му будемо вважати дану точку полюсом. По (3.25) знайдемо століття-тори прискорень точок. і:
Спроектуємо ці векторні рівності на осі О. Про.
Відмітимо, що . Це означає, що величини прискорень точок нитки (або вантажу 3) в два рази більше величини прискорення точки О. Відповідь:; ; ; ; ; .
Завдання 3.14. Диск радіуса. здійснює плоскопараллельное рух, котиться без ковзання по горизонтальній площині (рис. 1 до задачі 3.14). Центр диска рухається равнозамедленно з прискоренням. модуль якого. Визначити вектор повного прискорення точки диска в той момент часу. коли швидкість центру.
Рішення. Для визначення вектора прискорення точки скористаємося формулою (3.25), прийнявши за полюс центр диска точку. швидкість і прискорення якої відомі.
Тут. . Знайдемо кутову швидкість і кутове прискорення диска, враховуючи, що точка є миттєвим центром швидкостей. . і для моменту часу. коли. маємо таке значення кутової швидкості:
Напрямок відповідає напрямку вектора швидкості і показано дугового стрілкою на рис.2 до задачі 3.14.
Зауваження: за умовою задачі центр диска рухається уповільнено. Іншими словами його швидкість змінюється з плином часу. Тобто треба вважати, що величина швидкості є функція часу. Отже, і кутова швидкість диска є функція часу. Але в момент часу за умовою задачі і
Кутове прискорення диска в будь-який момент часу обчислюється за формулою. Продифференцируем за часом з урахуванням того, що відстань від точки О до МЦС в будь-який момент часу дорівнює. Тоді. За умовою завдання центр диска рухається равнозамедленно, тобто з постійним прискоренням (уповільненням). Тоді в будь-який момент часу, в тому числі і при, для модуля кутового прискорення маємо:. Отже, і. Воно має одне і те ж значення для будь-якого моменту часу. Напрямок відповідає напрямку вектора прискорення і показано дугового стрілкою на рис.2 до задачі 3.14. Напрямки і не збігаються, тому рух диска уповільнене.
Тепер для моменту часу можна обчислити. . Вектор дотичного прискорення прикладений до точки і спрямований у напрямку дугової стрілки (Ріс.2,3 наприклад). Векторнормального прискорення прикладений до точки і спрямований до полюса.
1.Геометріческая інтерпретація векторної рівності (*) показана на рис.3 наприклад. Вектор прискорення точки виходить складання за правилом паралелограма двох взаємно перпендикулярних векторів + і (рис.3). Ці вектори взаємно перпендикулярні, паралелограм перетворюється в прямокутник. Тому величину (модуль) вектора можна знайти за теоремою Піфагора:
Кут нахилу вектора. як видно із малюнка, визначиться з рівняння. Звідси. 2. Для визначення вектора можна скористатися методом проекцій. Спроектуємо рівняння (*) на осі координат (див. Рис. 3 і 4). Отримаємо: +. +. Тут. . . . . . Тоді. . Модуль вектора обчислюється звичайним способом:. Напрямок вектора повного прискорення визначається в даному випадку по знакам його проекцій на осі координат, а для модуля кута маємо рівняння. Звідси. що повністю збігається з отриманим раніше значенням. Відповідь:. .
Завдання 3.15. Кінці бруса. рухається у вертикальній площині, ковзають по горизонтальній і похилій площинах (рис. до задачі 3.15). У момент часу, коли. величина швидкості і величина прискорення. Визначити в даний момент часу величини швидкості і прискорення кінця бруса, кутову швидкість бруса і кутове прискорення. якщо. Відповідь:. . . .
Завдання 3.16. По нерухомій шестірні 1 радіуса обкатується шестерня 2 радіусу. насаджена на кривошип. Кривошип обертається відносно нерухомої осі, що проходить перпендикулярно площині малюнка через точку. і має в даний момент часу кутову швидкість і кутове прискорення. Визначити в даний момент часу кутову швидкість. кутове прискорення другий шестерні і величину прискорення точки. якщо радіус перпендикулярний осі кривошипа. Відповідь:. . .
Завдання 3.17. Стрижень довжиною рухається в площині креслення. В деякий момент часу точки і мали прискорення, модулі яких. . Визначити кутове прискорення стержня. якщо в даний момент часу кут .Відповідь:.
Завдання 3.18. Тіло в формі прямокутника знаходиться в плоскопаралельному русі. Знайти в показаний на малюнку момент часу його кутову швидкість. якщо модулі прискорень. . Відстань. кут .Відповідь:.
Завдання 3.19. Визначити величину прискорення повзуна і кутове прискорення шатуна кривошипно-шатунного механізму в показаному на малюнку положенні, якщо кутове прискорення кривошипа в даний момент часу. Довжини ланок. .Відповідь:. .
Завдання 3.20. Кривошип планетарного механізму обертається з постійною кутовою швидкістю відносно осі, що проходить перпендикулярно до площини малюнка через центр нерухомого колеса. Визначити модуль прискорення точки. є миттєвим центром швидкостей рухомого колеса. якщо радіуси коліс .Відповідь:.
Завдання 3.21. Кривошип кривошипно-шатунного механізму обертається з постійною кутовою швидкістю. У показаному на малюнку положенні механізму визначити кутову швидкість і кутове прискорення шатуна АВ. модулі швидкостей і прискорень точок. якщо. . . . Відповідь:. . . . . . .
Зауваження: На рис.1 до задачі приведена вихідна схема механізму. На рис. 2 до задачі приведена розрахункова схема, яка супроводжує обчислення. Це деяка «підказка» до вирішення. Рекомендується при вирішенні задачі на першому етапі розібратися зі швидкостями, а вектори прискорень з малюнка прибрати. На другому етапі визначаються прискорення. При цьому вектори швидкостей з малюнка треба прибрати, щоб не захаращувати малюнок.
Питання для самоконтролю до розділу 3.
1.Яке рух твердого тіла називається плоскопаралельним або плоским?
2. Запишіть рівняння плоскопаралельному руху твердого тіла.
3. З яких найпростіших рухів твердого тіла математично «складається» плоскопараллельное рух?
4. Сформулюйте і поясніть теорему про геометричному складання швидкостей точок плоскої фігури.
5. Запишіть рівняння методу проекцій для визначення швидкості довільної точки плоскої фігури.
6. Яка точка плоскої фігури називається полюсом?
7. Чи залежать кутова швидкість і кутове прискорення плоскої фігури від вибору полюса?
8. Як обчислюється швидкість довільної точки плоскої фігури при обертанні фігури щодо полюса в плоскопаралельному русі?
9. Сформулюйте теорему про проекціях векторів швидкостей двох точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки.
10. Що називається миттєвим центром швидкостей плоскої фігури
11. Як визначається миттєвий центр швидкостей плоскої фігури при відомих напрямках векторів швидкостей двох точок плоскої фігури?
12. Покажіть положення миттєвого центру швидкостей для відомих Вам окремих випадків руху плоскої фігури.
13. Як обчислюється швидкість довільної точки плоскої фігури в плоскопаралельному русі при відомому положенні миттєвого центру швидкостей?
14. Сформулюйте теорему про геометричному складання векторів прискорень при плоскопаралельному русі плоскої фігури. З яких векторів складається в загальному випадку вектор прискорення довільної точки плоскої фігури?
15. Як спрямовані і як обчислюються величини дотичної і нормальної складових вектора прискорення довільної точки, що виникає від обертання плоскої фігури відносно полюса?
16. Запишіть рівняння методу проекцій для визначення прискорення довільної точки плоскої фігури.
17. Яка точка називається миттєвим центром прискорень плоскої фігури?
18. Як обчислюється прискорення довільної точки плоскої фігури при відомому миттєвому центрі прискорень?