Механізми Чебишева У проекті соби-раются все меха-нізми, створений-ні вели-ким ріс-сій-ським математиком - Пафнутій Львовичем Чебишевим (1821-1894).
Mathesis Одеське видавництво "Mathesis" з 1904 по 1925 рік випускало вудь-Вітел-ьно інте-РЕКН книги. Неко-торие з них стали клас-сікой, частина зараз неза-слу-женно забута. Обсягів по-диня їх те, що всі вони - раритети.
В.О.Ф.Е.М. Електрон-ва версія науково-популяр-ного журналу, показало-який жив трад-іціі жанру в літі-ратури на рус-ською мовою.
Якщо вам доводилося збирати вдома шафа, то ви прекрасно пам'ятаєте, що поки не прибита задня стінка, він згинається. Як тільки задня стінка поставлена на місце, шафа - незамкнений багатогранник з краєм - стає жорстким. Якщо до нього додати передню стінку або зробити на краї будь-яку іншу надбудову, що замикає багатогранник, то жорсткість, звичайно, залишиться.
Чи бувають замкнуті згинаються багатогранники?
Відповідь на це питання довго не могли знайти. Як завжди в науці, при дослідженні завдання слід розглянути більш простий випадок. У разі завдання про що згинаються многогранниках - розглянути задачу не в просторі, а на площині, де аналогом багатогранника є багатокутник.
Чи бувають згинальні багатокутники? Тобто такі, у яких боку фіксовані, в кутах можливо згинання (в площині), а самі багатокутники змінюють форму? Таку модель кожен може виготовити з дроту, використовуючи стандартне з'єднання в кутах.
Якщо таким способом зробити трикутник, то він не буде згинатися. Тобто довжини сторін повністю визначають трикутник. А значить, визначають і його площа - формула Герона дозволяє обчислювати її, виходячи тільки з довжин сторін.
Якщо ж зробити дротяний чотирьох- або п'ятикутник, або ж багатокутник з більшою кількістю вершин, то будь-який з них буде згинатися. Як наслідок, аналога формули Герона - формули для обчислення площі багатокутника, виходячи тільки з довжин сторін - при кількості кутів більшому трьох, бути не може.
Повернемося в простір. Що ж таке згинаних багатогранник, якщо він існує? За аналогією з плоскою завданням, межі (що мають розмірність на одиницю менше розмірності простору) повинні бути жорсткими пластинами. А двогранний кут, що з'єднує будь-які дві грані, повинен мати можливість змінюватися, як ніби ребро ( «грань», що має розмірність один) реалізовано за допомогою рояльної петлі.
Давайте розглянемо правильні багатогранники. Якщо зробити їх моделі «на рояльних петлях» як ребер, то можна переконатися, що згинатися вони не будуть. Виявляється, це загальний факт для опуклих багатогранників. Теорема, доведена французьким математиком Огюстеном Луї Коші (1789-1857) в 1813 році, говорить про те, що опуклий багатогранник з даними набором граней і умовами їх склеювання єдиний. Тобто опуклий багатогранник згинатися не буває.
Перші математичні приклади згинаних багатогранників, природно, неопуклих, а також класифікація цих об'єктів були побудовані бельгійським інженером Рене Брікар в 1897 році. Математичні, тому що ці багатогранники були не тільки неопуклого, але і самопересекающиеся - їх межі перетиналися один з одним. З точки зору математика, це теж багатогранник, однак реалізувати його в нашому тривимірному просторі неможливо. У 1975 році американський математик Роберт Коннеллі придумав, як позбутися від перетину (так звані «зарубки Коннеллі»), і з'явилися «справжні» згинаються багатогранники. Найпростіший, відомий на сьогоднішній день, що складається з 9 вершин, 17 ребер і 14 граней, буде зараз побудований. Його в 1978 році придумав німецький математик Клаус Штеффен.
Розгортка багатогранника Штеффена складається з двох однакових частин і «кришки». Навіть пам'ятаючи зовнішній вигляд розгортки, але не знаючи довжин ребер, побудувати такий багатогранник самому складно: можливість згинатися - це все ж виняток для багатогранників, і таких відносно мало.
Можна показати, що несамопересекающійся багатогранник з 7 і меншим числом вершин згинатися не може. Описаний згинаних багатогранник Штеффена має 9 вершин. А ось чи буває згинається несамопересекающійся багатогранник з 8 вершинами до сих пір невідомо.
Коли математики зрозуміли, що згинаються багатогранники бувають, виникло питання, що отримав назву «гіпотези ковальських міхів». За рахунок чого ковальські міхи роздмухують вугілля? За рахунок чого грає гармонь. Їх принцип дії заснований на зміні внутрішнього обсягу. А що ж згинаються багатогранники - чи буде змінюватися їх обсяг при згинанні? Чи можна ковальські міхи або гармонь робити не зі шкіри, а з жорстких пластин, у вигляді багатогранників?
В кінці XX століття повну відповідь на це питання був знайдений російським математиком І. Х. Сабітова. Виявляється, для обсягів багатогранників, в тому числі, що згинаються, вірний якийсь аналог формули Герона для площі трикутника. А саме, існує такий многочлен однієї змінної, що його коефіцієнти залежать тільки від довжин ребер багатогранника, а обсяг є корінь цього многочлена. Так як ребра у згинаних багатогранників не змінюються, то і сам цей многочлен, а значить, і його коріння не змінюються при згинанні самого багатогранника. Але різні корені многочлена однієї змінної суть конкретні числа, розташовані один від одного на якійсь відстані. При малих ворушіння багатогранника обсяг може змінюватися мало, тому не може різко перестрибнути з одного кореня многочлена в інший. Значить, обсяг згинаних багатогранників не змінюється при їх згинання!
Ми розглянули питання про згинаються многогранниках в звичайному тривимірному просторі. А що відбувається в більших размерностях?
У просторах постійної позитивної кривизни обсяг згинаних багатогранників вже не обов'язково постійний (навіть в розмірності 3). А в просторах Лобачевського (постійної негативної кривизни) сталість обсягу вдалося довести лише в размерностях 3, 5, 7, ... (непарних). У парних ж размерностях прикладів згинаних багатогранників із змінним обсягом невідомо, але і довести його сталість теж поки не вдалося.
Та й в евклідових просторах залишаються невирішені завдання. Наприклад, в размерностях починаючи з 4 всі відомі згинаються багатогранники - самопересекающиеся. Чи існують несамопересекающіеся, - невідомо.