Знаходження оберненої матриці за допомогою приєднаної матриці
Якщо до квадратної матриці дописати справа одиничну матрицю того ж порядку і за допомогою елементарних перетворень над рядками домогтися того, щоб початкова матриця, що стоїть в лівій частині, стала єдиною, то отримана справа буде зворотним до вихідної.
Завдання. Для матриці знайти зворотну методом приєднаної матриці.
Рішення. Приписуємо до заданої матриці справа одиничну матрицю другого порядку:
Від першого рядка віднімаємо другу (для цього від елемента першого рядка віднімаємо відповідний елемент другого рядка):
Від другого рядка віднімаємо дві перших:
Першу і другу рядки міняємо місцями:
Від другого рядка віднімаємо дві перших:
Другий рядок множимо на (-1), а до першої рядку додаємо другу:
Отже, зліва отримали одиничну матрицю, а значить матриця, що стоїть в правій частині (праворуч від вертикальної риси), є зворотною до вихідної.
Таким чином, отримуємо, що
Якщо на деякому етапі в "лівої" матриці виходить нульова рядок. то це означає, що вихідна матриця зворотного не має.
Полегшений спосіб для матриці другого порядку
Для матриці другого порядку можна трохи полегшити знаходження оберненої, використовуючи наступний алгоритм:
Крок 1. Знаходимо визначник заданої матриці, якщо він дорівнює нулю, то робимо висновок, що оберненої матриці не існує, інакше переходимо до наступного кроку.
Крок 2. Елементи, які стоять на головній діагоналі міняємо місцями, а у елементів побічної діагоналі міняємо знак на протилежний.
Крок 3. Ділимо всі елементи на і отримуємо обернену матрицю.
Завдання. Знайти обернену матрицю для
Рішення. Крок 1. . тоді оберненої матриці не існує.
Відповідь. Так як визначник матриці дорівнює нулю, то вона не має зворотної.
Завдання. Знайти обернену матрицю для
Рішення. Крок 1. Знаходимо визначник:
Знаходження оберненої матриці за допомогою союзної матриці
Матриця називається союзної до квадратної матриці. якщо елементи матриці дорівнюють алгебраїчним доповненням відповідних елементів матриці.
Має місце наступна властивість:
Тоді, якщо. то. а тоді
Таким чином, матриця має союзну тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.
Завдання. Знайти обернену матрицю до матриці
Рішення. Обчислюємо визначник матриці:
Так як визначник не дорівнює нулю, то матриця має зворотну. Зворотній матриця до матриці знаходиться за формулою:
Знайдемо союзну матрицю. для цього обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці:
Транспоніруем цю матрицю (тобто рядки матриці робимо стовпцями з тим же номером):