Калькулятор для знаходження екстремуму функції.
Зауваження. Даний калькулятор знаходить похідну функції, вирішує рівняння f '(x) = 0, і видає точки підозрілі на екстремум (необхідна умова екстремуму).
Дані точки будуть екстремумами, якщо також буде виконуватися достатня умова екстремуму.
Якщо f '(x) при переході через точку x про змінює знак плюс на мінус, то в точці Xо функція має максимум, в іншому випадку - мінімум.
Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці Xо екстремуму немає.
Прімер.Найті екстремуми функції
Рішення. Вставляємо в калькулятор функцію у вигляді x ^ 3 / (4 (2-x) ^ 2), натискаємо "Ok", отримуємо точки підозрілі на екстремум: x = 0, x = 6
Перевіримо достатня умова екстремумів:
З малюнка видно, що екстремум функції знаходиться в точці x = 6, і називається локальним мінімумом, а також отримуємо інтервали монотонності функції:
(- ∞; 2) і (6; + ∞) - функція зростає,
(-2; 6) - функція спадає
Виконання достатньої умови можна було перевірити і по іншому:
Друге достатня умова. Нехай функція f (x) має похідну
f '(x) в околі точки Xо і другу похідну в самій точці Xо.
Якщо f '(x о) = 0, f "(x0)> 0 (f" (x0)<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ).
Якщо ж f "(x0) = 0, то потрібно або користуватися першим достатньою умовою, або залучати вищі похідні, см. Калькулятор вищих похідних.