Нехай задано комплексне число в тригонометричної формі. Яке вийде число при зведенні його в квадрат? Так як при комплексних чисел модулі цих чисел перемножуються, а аргументи складаються, то при зведенні в квадрат модуль комплексного числа зводиться в квадрат, а аргумент множиться на 2.
При зведенні комплексного числа в -ю ступінь модуль цього комплексного числа зводиться в -ю ступінь, а аргумент множиться на. Отже, справедлива формула. Цей вислів називається формулою Муавра.
8. Витяг кореня го ступеня з комплексних чисел
Нехай задано комплексне число в тригонометричної формі. Яке число при зведенні його в -ю ступінь дасть нам число, модуль якого дорівнює. а аргумент дорівнює. Так як зведенні комплексного числа в -ю ступінь модуль цього комплексного числа зводиться в -ю ступінь, а аргумент множиться на. то, очевидно, комплексне число з модулем, рівним і аргументом, рівним. володіє необхідною властивістю. Звернемо увагу на те, що при зміні аргументу на значення, рівне. після зведення в -ю ступінь комплексне число змінює значення аргументу на. тобто на. А це означає, що таким чином змінений комплексне число також є коренем-го ступеня з заданого числа.
Тим самим ми приходимо до формули. де.
Отже, є величиною, яка приймає різних значень при. Зауважимо, що всі ці значення кореня лежать на окружності радіуса через рівні значення аргументу.
Приклад 2. Знайдіть модуль і аргумент комплексного числа. де. . .
Рішення . План дій наступний. Ми знайдемо модуль і аргумент чисел. . Потім ми знайдемо шуканий модуль числа, враховуючи, що при зведенні в ступінь модуль зводиться в цю ж ступінь, при перемножуванні комплексних чисел їх модулі перемножуються, при розподілі - відповідні модулі діляться. Після цього ми займемося аргументами чисел. і, з огляду на відповідні правила для аргументів, знайдемо шуканий аргумент.
Розглянемо число і обчислимо його модуль. Знайдемо тангенс аргументу цього числа. Так як знаходиться в 4-й чверті, то головне значення його аргументу одно.
Розглянемо тепер число і обчислимо його модуль. Знайдемо тангенс аргументу цього числа. Так як точка знаходиться в 3-й чверті, то головне значення його аргументу одно.
Зверніть увагу, що якщо одно. то одно. Додаткове доданок не змінює тангенса аргументу. Воно пов'язане з необхідністю «потрапити» в потрібну чверть.
У числа знайдемо модуль. Тангенс аргументу тут дорівнює. Відповідно лавного значення його аргументу одно.
Зауважимо, що. тобто модуль і аргумент цього числа рівні 1 і. Тепер знайдемо - шуканий модуль комплексного числа і одне зі значень аргументу. рівне. Звідси головне значення аргументу одно.
Приклад 3. Знайдіть. Рішення. На малюнку відзначені 3 точки, які є країнами 3-го ступеня з числа 8. Ці 3 точки знаходяться на колі радіуса 2 і мають аргументи 0, і.