ЗВЕРНЕННЯ ЧАСУ
Чому так виходить, що дворазове застосування операції звернення часу до частинки зі спіном змінює її знак на протилежний? Відповідь полягає в тому, що дворазове дію Т еквівалентно просторового обертанню на 360 °. Якщо двічі поміняти напрям осі на протилежне, то вийде поворот на 360 °; в чотиривимірному просторі те ж саме справедливо і щодо осі t. Нижче я покажу, що це насправді вірно (для цього мені навіть не знадобиться використовувати будь-які релятивістські співвідношення між t і). Як ми вже говорили, для частинки зі спіном поворот на 360 ° призводить до множення на і, таким чином, Давайте покажемо, що для частинок зі спіном дійсно мусить виходити. У табл. 1 наведені різні стани і показано, як вони змінюються після однократного і дворазового застосування операції Т.
Таблиця 1. Результат звернення часу для різних станів
Перше стан - це стан, в якому частка знаходиться в точці з використанням діраковской позначень воно записується у вигляді Між символами знаходиться індекс стану або будь-який інший символ, що позначає стан; в даному випадку це координата точки в якій знаходиться частинка. Стан частинки після звернення часу матиме вигляд т. Е. Нічого не станеться, і частка залишиться на тому ж місці. З іншого боку, звернення часу для частинки в стані з імпульсом переведе її в стан з імпульсом; повторне звернення часу поверне частку назад в стан
Аналіз стану показує, що Т є так званої антіунітарной операцією. Стан можна представити у вигляді лінійної комбінації, в яку стану для різних положень частинки входять з різними фазами. Щоб отримати стан, досить взяти той же розкладання в яке, однак, стану входять з комплексно сполученими фазовими множниками. Отже, в загальному випадку т. Е. При дії будь-якого антіунітарного оператора ви повинні відразу ж замінити
коефіцієнти на їх комплексно зв'язані. Зрозуміло, при повторному застосуванні Т вам знову знадобиться обчислювати комплексно пов'язані коефіцієнти, але якщо ви розбираєтеся в алгебрі, то знаєте, що це буде марною тратою часу. Дивіться, що тепер виходить. Стан був би фізично еквівалентним станом якби не ця диявольська квантова механіка, через яку вічно виходить плутанина з фазами. У відповідності зі сказаним фазовий множник причому цей множник буде однаковим для всіх станів, які можуть бути накладені на стан і, таким чином, дія оператора ТТ не змінить результату інтерференції станів. Стану з нульовим спіном і спіном не можуть бути накладені один на одного, оскільки між цими типами станів є фундаментальні відмінності; отже, сумарна зміна фази в результаті дії оператора ТТ може бути різним.
Зараз ми збираємося використовувати наступний факт: якщо у нас є стан з деяким кутовим моментом то фазовий множник Для кутового моменту все має виглядати наступним чином: якщо об'єкт обертається, то звернення
часу дасть той же об'єкт, що обертається в протилежному напрямку. Наприклад, оскільки Т діє як то для кутового моменту буде т. Е. Дія оператора Т змінює кутовий момент на протилежний.
Розглянемо стану з цілочисельним спіном. Серед них є стан з нульовим кутовим моментом, а саме Одноразове застосування оператора Т до цього стану дає той же стан з деяким фазовим множником, повторне ж застосування Т поверне стан до вихідного в силу антіунітарності Т. Таким чином, оскільки фаза повинна бути однаковою для всіх интерферирующих станів, то для станів з цілочисельним спіном.
Щоб розібратися в тому, що відбувається з напівцілим спіном, розглянемо найпростіший випадок, коли спін дорівнює Спробуємо заповнити нашу таблицю для чотирьох спеціальних випадків: спін спрямований паралельно осі в прямому і в зворотному напрямках, спін спрямований паралельно осі в прямому і в зворотному напрямках: Елементарна теорія спина пояснює нам, як два останніх випадки можна висловити
через базисні стану і: стан є результатом складання базисних станів в фазі, а в протифазі. Фізично звернення часу переводить стан в стан і навпаки. Точно так же при зверненні часу зі стану повинно вийти стан з точністю до фазового множника.
Для першого осередку в таблиці з точністю до фазового множника у нас повинно вийти. Легко перевірити, що ця фаза може вибиратися довільно, і ми напишемо Далі, має дорівнювати з деяким фазовим множником. Ми не можемо записати результат просто у вигляді оскільки при дії Т на стан ж), яке є результатом синфазного складання замість протівофазного стану помноженого на деяке число, вийшло б знову синфазное стан, що позбавлене фізичного змісту. Щоб відбулося необхідну зміну фази, ми зобов'язані покласти т. Е. Взяти протилежну в порівнянні з фазу. Значить, і ми можемо заповнити залишилися осередки в таблиці.
Таким чином, для спина і звернення часу завжди приводить до іншого фізичного стану; як легко показати, це справедливо для будь-якого напівцілого спина j. Використовуючи цей факт разом з результатом для частинок з цілочисельним спіном, отримуємо, що ТТ еквівалентно повного повороту:
Ми нарешті підійшли до питання про знак петлі для частинок зі спіном Ви, напевно, ще пам'ятаєте, що в релятивістської квантової теорії потенціал призводить до народження пар, тому ймовірність того, що вакуумне стан (т. Е. Стан, в якому немає частинок) залишається вакуумним, повинна бути менше одиниці. Запишемо амплітуду переходу з вакуумного стану знову в вакуумне стан у вигляді де X - внесок всіх замкнутих петель, показаних на рис. 6 праворуч. Величина X повинна давати негативний внесок в імовірність того, що вакуумне стан залишається вакуумним; це випливає з тотожності на рис. 6, оскільки вираз в його лівій частині строго негативно.
Розглянемо петлі, що дають внесок в X. Петля утворюється електроном, який виходить зі стану, що описується, скажімо, діраковской хвильової функцією і, обходить
петлю і повертається в той же фізичний стан ми ж повинні обчислити слід виходить твори матриць, підсумувавши діагональні елементи. Але тут є одна тонкість: кінцеве фізичний стан могло виявитися поверненим на 360 °, і ми дійсно стикаємося з таким поворотом (або з еквівалентним йому перетворенням ТТ). З якою б системи відліку ви не спостерігали цей процес, на певному етапі електрон перетвориться в рухомий назад в часі позитрон (одне Т), а потім перетвориться знову в електрон, що рухається вперед у часі (друге Т); таким чином, обійшовши петлю, ви врешті-решт прийдете до стану (рис. 12).
Такий же оператор ТТ буде діяти і в разі бозонів (нульовий спін), однак при цьому так що тут не виникне ніяких проблем. З бозонами все виходить; обчислення для X дає негативний внесок. Однак для спина як ми тільки що показали, з'являється додатковий знак мінус. Отже, щоб забезпечити виконання тотожності на рис. 6, т. Е. Щоб внесок X приводив до негативної добавці до ймовірності, необхідно ввести додаткове правило для частинок з підлозі цілим спіном, а саме,
Мал. 12. Петля для пари частинка-античастинка; показані дві операції звернення часу.
обчислюючи внесок кожної одиночній петлі, ми повинні поставити ще один знак мінус, щоб компенсувати знак мінус, який з'являється через Бели ми цього не зробимо, то не зможемо правильно обчислити вірогідність і не отримаємо послідовної теорії частинок зі спіном Цей додатковий знак мінус пов'язаний зі статистикою Фермі.
Статистика Фермі для частинок зі спіном обумовлена загальним правилом, згідно з яким ви повинні множити результат для кожної замкнутої петлі на -1 (див. Рис. 9). Випадки, зображені на рис. 9, а і б, розрізняються
знаком мінус, оскільки на рис. 9, а є дві петлі, тоді як на рис. 9, 6 - тільки одна. Таким чином, рис. 9 говорить про те, що, помінявши дві частинки місцями, ви повинні поставити знак мінус, а це і є статистика Фермі!