тобто аж до частот коливань, відповідних ультрафіолетової частини спектра. Ця оцінка наближена, оскільки не враховує інерційних властивостей середовища, які відіграють істотну роль при дуже високих частотах. Облік інерційних властивостей речовини послаблює цю оцінку на кілька порядків, однак і після цього діапазон частот, при яких можна нехтувати струмами зміщення в порівнянні з струмами провідності, залишається дуже великим.
2. Зміна поля відбувається настільки повільно, що в межах розглянутої області простору можна знехтувати ефектами запізнювання, зумовленими тим, що швидкість поширення електромагнітних хвиль - величина кінцева. Зміна величин, що характеризують плоску хвилю, що поширюється зі швидкістю з уздовж осі Х, можна представити у вигляді
E (x, t) E 0 e i (t x / c) E 0 e i t e i x / c.
Розкладаючи останній експонентний множник в ряд, отримуємо
E (x, t) E 0 e i t (1 i x / c.).
Звідси видно, що ефектом запізнювання можна знехтувати тоді, коли в правій частині
(7) можна знехтувати залежністю від х, тобто коли дотримується нерівність
1 Будемо використовувати комплексну функцію, маючи на увазі, що вимірюваними фізичними величинами в електродинаміки є дійсні частини відповідних комплексних виразів. Позначення ми залишимо колишніми у всіх випадках, коли це не викликає плутанини.
де - довжина хвилі, можна умова (8) переписати у вигляді
тобто вважати швидкість поширення електромагнітних хвиль нескінченної і знехтувати ефектами запізнювання можна, якщо лінійні розміри області багато менше довжини хвилі.
Якщо розглянути струм із частотою 50 Гц, то відповідна йому довжина хвилі дорівнює кільком тисячам кілометрів і, отже, в цьому випадку ефектами запізнювання можна знехтувати навіть для областей порівняно великих розмірів. Отже, до квазістаціонарним електромагнітних полів можна віднести більшість полів розглянутих в електротехніці, а також багато поля, зустрічаються в радіотехніці.
Залежно від властивостей провідників одна з умов квазістаціонарності зазвичай сильніше іншого, і тому лише одне з них є визначальним.
У рівняння Максвелла в квазістаціонарних області. При нехтуванні струмами зміщення рівняння Максвелла набувають такого вигляду:
rot H = j. rot E = - B,
Таким чином, в області квазістаціонарних полів електричне та магнітне поля не можна розглядати окремо. Однак між ними враховується лише головна зв'язок, здійснювана явищем електромагнітної індукції Фарадея. Зв'язок, що здійснюється струмами зміщення, для квазістаціонарних полів не враховується.
2. Напруженість електричного поля, виражена через потенціали
Напруженість електричного квазістаціонарного поля виникає не тільки за рахунок зарядів, але і за рахунок зміни магнітного поля. Вона залежить і від скалярного, і від векторного потенціалів. Векторний потенціал вводиться так само, як і в випадку стаціонарних магнітних полів:
Електричне поле в квазістаціонарному разі не є потенційним, так як
і тому вектор напруженості електричного поля не може бути представлений
градієнта від скалярного потенціалу. Висловлюючи в (13) вектор В за допомогою векторного потенціалу А. знаходимо:
Тут послідовність операцій взяття похідної за часом і обчислення ротора змінена. Переписавши (14) у формі
Квазістаціонарні електромагнітні поля
бачимо, що E A є потенційним вектором і, отже, може бути
представлений у вигляді градієнта від скалярної функції:
Вектор напруженості електричного поля виражається через скалярний і векторний потенціали наступною формулою:
Другий доданок в правій частині (17) враховує закон електромагнітної індукції Фарадея і обумовлює непотенційного електричного поля в квазістаціонарному випадку. Завдяки наявності це члена робота, що здійснюються полем при переміщенні заряду між двома точками залежить від форми шляху.
3. Рівняння для скалярного і векторного потенціалів
Розглянемо однорідне середовище. Підставляючи в рівняння
вираз для Е через потенціали, знаходимо
Врахуємо, що divgrad 2 і
Тому рівняння для скалярного
потенціалу має вигляд
(Як і в разі статичних полів). Це обумовлено тим, що для квазістаціонарних полів нехтують ефектом запізнювання і вважають, що скалярний потенціал в даній точці простору в певний момент часу визначається розподілом зарядів у всьому просторі в той же момент часу, причому характер руху зарядів ніякого значення не має. Тому скалярний потенціал має таке ж значення, як якщо б все заряди були нерухомі.
При виведенні рівняння для векторного потенціалу все обчислення і міркування абсолютно однакові з тими, які були використані в разі магнітостатіческого
поля. Тому і рівняння для векторного потенціалу виходить таким же
Постійний струм розподіляється рівномірно по поперечному перерізі провідника. У разі змінних струмів картина змінюється - щільність струму у поверхні провідника збільшується, а в центрі - зменшується. Це явище концентрації змінного струму біля поверхні провідника називається скін-ефектом. Скін-ефект викликаний електромагнітним взаємодією елементів струму.
Розглянемо елементарну теорію скін-ефекту. Для спрощення обчислень візьмемо нескінченний однорідний провідник, котрий обіймає полупространство Y 0. Струм тече в напрямку осі Х, що збігається з площиною XZ. Вихідні рівняння теорії мають вигляд:
Квазістаціонарні електромагнітні поля
Диференціюючи обидві частини рівняння (20) за часом і виключаючи похідну
допомогою рівняння (21) отримуємо
Так як в однорідному провіднику вільні заряди відсутні (div E = 0),
Для виведення рівняння для Н вчинимо по-іншому. Візьмемо ротор від обох частин рівності (20)
rotrot H = rot E graddiv H - 2 H 0 H.
Так як div H = 0, отримуємо
Рівняння (22) і (23) - це рівняння дифузії (параболічні).
Досліджуємо випадок, коли струм тече вздовж осі Х, причому j x = j x (y, t), j y = j z = 0, тому за законом Ома маємо
E x = E x (y, t), E y = E z = 0.
Тоді рівняння (22) приймає вигляд
Якщо - частота змінного струму, то рішення (25) слід шукати у вигляді
E x (y, t) = E x0 (y) e i t.
Підставляючи цей вираз для E x (y, t) в (25) і скорочуючи після диференціювання за часом на множник e i t. отримуємо:
де Т - період коливань. Таким чином, зі збільшенням частоти змінного струму скінеффект збільшується, і струм зосереджується в усі більш тонкому шарі поблизу поверхні провідника. Скін-ефект також посилюється зі збільшенням провідності провідника і величини його магнітної проникності. Для металів при оцінці порядку величин можна вважати = 1, = 10 7 Cм / м. Тоді при Т = 10 -3 с отримуємо мм. При періоді 10 -5 с, що відповідає довжині хвилі = ст = 3 км, весь струм тече в шарі товщиною 0,5 мм. Наведені оцінки показують, що в області досить великих частот скін-ефект призводить до істотного перерозподілу струму по перетину провідника.
5. Закон електромагнітної індукції в рухомих провідниках
Нехай деякий контур з струмом рухається в магнітному полі. Швидкість його руху будемо вважати постійною в просторі і набагато меншою в порівнянні зі швидкістю світла. Знайдемо зміна потоку індукції через контур з провідником
d d B d S. dt dt
B (t t) d S- B (t) d S
де В (t + t) - вектор індукції, взятий в момент часу t + t і S 2 - поверхня, в яку переходить поверхню в момент t + t. При цьому вектори нормалі до обох поверхнях вважаються орієнтованими в одну сторону.
Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса до замкнутої поверхні, утвореної поверхнями S 1 і S 2 і бічною поверхнею. утворилася при зміщенні контуру
з положення S 1 в S 2. Так як магнітне поле завжди соленоідальной, тобто
B (t t) d S B (t t) d S B (t t) d Σ B (t t) d S = 0.
Знак мінус пов'язаний з нашим вибором орієнтації вектора нормалі. Для бічної поверхностіможно написати очевидне рівність
де v - швидкість руху контуру зі струмом, d l - елемент його довжини. Тому
B d Σ B [d l v] t t [v B] d l,
де інтеграл береться по кривій, що обмежує поверхню S 1 (тобто по контуру зі струмом). C точністю до нескінченно малих другого порядку можна написати:
B (t t) d S B (t) d S t