Визначення квазістаціонарного поля
У тому випадку, якщо розглядають електричні коливання, то мають справу з струмами, які змінюються в часі. Однак ми пам'ятаємо, що найважливіші закони для струмів, закон Ома і закони Кірхгофа сформульовані для струму, який в часі не змінюється (постійного струму). Ці закони виконуються і для миттєвих значень струму і напруги, якщо зміни відбуваються з невеликою швидкістю. У разі розгляду змінюються полів і струмів необхідно врахувати наступне:
Швидкість поширення електромагнітних полів кінцева (швидкість поширення електромагнітних обурень велика, в вакуумі дорівнює швидкості світла $ (c = 3 \ cdot ^ 8 \ frac) $).
Джерелом магнітного поля є змінне електричне поле, тобто існують струми зміщення ($ j_-об'ємна \ щільність \ струму \ зміщення $), які дорівнюють:
При невеликій частоті змінного струму ці чинники зазвичай ігнорують. Якщо приймають те, що електромагнітні поля поширюються миттєво, а магнітне поле породжується тільки струмами провідності, то такі струми і поля називають квазістаціонарними.
Критерій квазістаціонарності полів
Сформулюємо математичні критерії квазістаціонарності поля.
- Припустимо, що існує періодичний процес, який поширюється від джерела зі швидкістю світла ($ c $), довжина хвилі ($ \ lambda $) при цьому для даного процесу дорівнює:
Вирішуємо контрольні з усіх предметів. 10 років досвід! Ціна від 100 руб. термін від 1 дня!
де $ T $ - період зміни заданого процесу в часі. Тоді критерій, який говорить про те, що в квазістаціонарних полях нехтують кінцівкою швидкості поширення електромагнітних обурень, записують так:
де просторові зміни величини, яка характеризує процес, вивчаються в області лінійні розміри якої ($ l $) багато менше довжини хвилі. Роль даного критерію визначена частотою і просторовими розмірами області, в якій розглядається процес.
Припустимо, що довжина кола дорівнює $ l $. Тоді якщо за час рівне:
необхідну для передачі обурення в найдальшу точку ланцюга, сила струму змінюється несуттєво, отже, миттєві значення сили струму для всіх перетинів ланцюга дуже близькі. Токи, які задовольняють даній умові, називають квазістаціонарними. Для періодично змінюються струмів умова квазістаціонарності можна записати у вигляді:
де $ T $ - період змін.
Для перехідного непериодического процесу умовою квазістаціонарності служить нерівність:
де $ \ triangle $ -промежуток часу протягом якого відбувається зміна.
Таким чином, поле змінних струмів може задовольняти умовам квазістаціонарності тільки в обмеженій області простору, не далеко від струмів, в тому випадку, якщо сила струмів, заряди конденсаторів і т.д. незначно змінюються за проміжок часу, який необхідний для поширення електромагнітного обурення. Крім того, змінні струми можуть бути квазістаціонарними, тільки якщо вони замкнуті.
По суті, основною умовою квазістаціонарності полів можна назвати низьку швидкість їх зміни.
Для того щоб зміна параметрів в системі можна було вважати миттєвим, необхідно, щоб тривалість їх стрибка була набагато меншою, ніж час релаксації. Час релаксації електричного кола, наприклад, залежить від характеристик елементів, які в неї входять.
- Якщо вектор електричного зміщення змінюється, наприклад, відповідно до закону:
то відповідно до формули (1) струми зміщення мають вигляд:
Отже, знехтувати наявністю струмів зміщення в порівнянні з ефектами, які викликають струми провідності можна, якщо виконується умова для модулів відповідних струмів:
Умова (9) може бути записано у вигляді:
де щільність струмів провідності пов'язана з напруженістю електричного поля диференціальної формою закону Ома як:
а замість струмів зміщення використовується права частина формули (8).
Треба відзначити, що для змінних магнітних полів у вакуумі і діелектриках враховувати струми зміщення необхідно, так як в цих речовинах магнітних полів є саме вони. Наявність струмів зміщення є причиною існування електромагнітних хвиль.
Змінні струми, які використовують в техніці сильних струмів, з достатнім ступенем точності відповідають умовам квазістаціонарності. До електричних коливань, які використовуються в радіотехніці, теорія квазістаціонарних струмів не може бути застосована (або обмежено застосовна), так як дані коливання вважаються швидкими.
Завдання: Для ланцюга 3 м чому дорівнює запізнювання $ \ tau? $ До якої частоти ($ \ nu $) струми можна вважати квазістаціонарними?
Основою для вирішення завдання є умова стаціонарності струмів у вигляді:
\ [\ Tau = \ frac \ ll T \ left (1.1 \ right). \]
Обчислимо запізнювання $ (\ tau) $ для заданої ланцюга, якщо ми знаємо, що швидкість світла у вакуумі дорівнює $ c = 3 \ cdot ^ 8 \ frac $:
Можна сказати, що аж до $ T = ^ c $ струми в цьому ланцюзі можна буде вважати квазістаціонарними. Період пов'язаний з частотою співвідношенням:
Обчислимо відповідну частоту, при якій будемо вважати струм квазістаціонарним для заданої ланцюга:
Завдання: Поясніть чому, якщо розглядають розподіл струму по провідника в межах електростанції, змінний струм можна вважати квазістаціонарним?
Для технічного струму частота дорівнює $ \ nu = 50 \ Гц $. Знайдемо довжину хвилі такого струму, використовуючи формулу:
де $ T $ - період, який пов'язаний з частотою як:
Обчислимо довжину хвилі, знаючи швидкість світла у вакуумі ($ c = 3 \ cdot ^ 8 \ frac $):
З величини $ \ lambda = 6 \ cdot 10 ^ 6м $ очевидно, що якщо ми будемо розглядати будь-яку область простору, де змінюються струми в межах електростанції, то умова:
\ [L \ ll \ lambda \ \ left (2.3 \ right) \]
буде виконуватися і ток і відповідне йому поле можна вважати квазістаціонарним.
При цьому слід врахувати, якщо час стрибка значень змінного струму мало, наприклад, $ \ triangle t = ^ c $ в такому випадку критерій стаціонарності набуде вигляду:
\ [L \ ll c \ triangle t, \ де \ c \ triangle t \ approx \ ^ \ cdot 3 \ cdot ^ 8 = 0,3 \ (м) (2.4) \]
такий процес можна вважати квазістаціонарним тільки на відстанях, значно менших $ 0,3 $ м.