Мал. 3.1 Схема до вступу і видалення тепла на гранях елементарного обсягу води
Зміна потоків тепла внаслідок фізичної (молекулярної) теплопровідності враховується рівнянням (Карауш, 1969)
де - тепловий потік по i-му координатного напрямку, обумовлений фізичної теплопровідністю, V - об'єм води, - інтервал часу. Відповідно до закону Фур'є потік теплоти (Вт / м2), обумовлений цим механізмом теплопередачі, пропорційний градієнту температури у напрямку i і коефіцієнту фізичної теплопровідності (Вт / м2 × 0С):
Заміна в рівнянні (3.1) співвідношенням (3.2) приводить до виразу:
Вважаючи, що температурне поле изотропно (тобто) отримуємо:
Оскільки сума змін приватних потоків тотожно дорівнює зміні теплосодержания (відповідно до рівняння (2.1)), то
де С - питома теплоємність, # 961; - щільність води. Розкриття повної похідної dq / dt перетворює рівняння (3.5) до рівняння теплопровідності (рівняння Фур'є-Кірхгофа)
де v, u, w - поздовжня, поперечна і вертикальна компоненти швидкості відповідно. Члени, пов'язані з ними враховують внесок процесів адвекции, дисперсії і конвекції в зміна температури води. Відношення називається коефіцієнтом температуропровідності (м2 / с).
в якому використано умова ізотропності температурного поля (). Більш точним є вираз:
3.2 Епюри вертикального розподілу температури води
Закономірності вертикального зміни температури води qв річках вивчені недостатньо. Перший спосіб теоретичного опису розподілу температури води по глибині річки був запропонований В.А. Бергом (1962). Теоретичні епюри температури добре узгоджуються з реальним зміною температури води по вертикалі. Однак їх отримання занадто багато роботи і обмежена умовами постановки розв'язуваної задачі. У загальному випадку формулу для розрахунку теоретичної епюри температури можна отримати з рівняння (3.9). Для випадку усталеного рівномірного руху потоку (), відсутності поперечних складових осредненной швидкості, незмінних по довжині потоку x і його ширині z температур:
Похідні в цьому рівнянні повні, оскільки враховується зміна q лише по одному координатного напрямку. Згідно А.В. Караушеву (Карауш, 1977), коефіцієнт турбулентної дифузії
де h - глибина потоку, v - швидкість течії в даній точці потоку, а
при і M = 48 = const при. Цей параметр, як і коефіцієнт Шезі, має розмірність м0,5 × с-1. коефіцієнт Шезі
Підстановка в рівняння (3.10) значення коефіцієнта турбулентної дифузії (3.11) і відповідні перетворення дають
Рішення цього рівняння має вигляд:
де q1 і q2 - постійні інтегрування. Заміна в цьому рівнянні глибини потоку відносної глибиною потоку, а також введення константи a1 = С / g = 427 м / 0ДО призводить до рівняння
Як константи інтегрування q1 приймемо придонну температуру потоку, а q2 - різниця температури води в поверхневому шарі qn річки і температурою у дна q1, тобто q2 = qn - q1. Відносну глибину будемо враховувати зі знаком «-» для отримання прямої температурної стратифікації в період весняного та літнього нагрівання водної маси. Така необхідність пов'язана з вибором початку координат. Відносна глибина біля поверхні, а необхідна для цього корекція відповідає винесення знака «-» в показник ступеня при експоненті в рівнянні (3.16). В цьому випадку епюра температури води описується рівнянням: