Вище вже зазначалося, що не будь-які дві матриці можна скласти або перемножити так як для здійснення таких операцій необхідні відомі співвідношення між числами рядків і стовпців. Це незручність зникає, якщо розглядати тільки квадратні матриці деякого фіксованого порядку n. Будь-які дві такі матриці можна скласти або перемножити і в результаті знову вийде квадратна матриця того ж порядку.
Особливу роль серед квадратних матриць відіграє матриця Е, все діагональні елементи якої рівні 1, а решта - нулю, звана одиничною матрицею. Таким чином матриця Е має вигляд
Безпосереднім обчисленням можна показати, що для будь-якої квадратної матриці А має місце рівність
виражає основну властивість матриці Е. Зауважимо також, що для будь-якого вектор-стовпця а розміреності n (а- вектор-рядок) виконуються рівності
Квадратна матриця А називається оборотною, якщо існує матриця Х, яка задовольнить умові
Матриця Х, яка задовольняє цій умові, називається матрицею, оберненою до А, або зверненням матриці А. Зауважимо, що, якщо звернення матриці існує, то він єдиний. Дійсно, якщо існує друге звернення Y, то з рівності
X = XE = X (AY) = (XA) Y = EY = Y
випливає, що X = Y.
Звернення матриці А, якщо воно існує, позначається А - 1. Таким чином, за визначенням
АА - 1 = А - 1 А = Е.
Н а х о ж д е н і е про б р а т н о м м а т р і ц и. Позначимо через Т () матрицю, що відрізняється від одиничної тільки тим, що замість одиниці на i-му місці діагоналі, т. Е. В рядку i і стовпці i. варто число . Результатом твори матриці Тii () зліва на матрицю А є матриця Тii () А, що відрізняється від матриці А тільки рядком з номером i. В результуючої матриці елементи рядка i матимуть вигляд аij (j = 1. n), т. Е. Елементи рядка i матриці А множаться на число . Тому множення матриці Тii () зліва на матрицю А будемо називати "операцією множення рядка на число".
П р и м і р. нехай
Позначимо через Тi j () (ij) матрицю відрізняється від одиничної матриці тільки одним елементом, що стоять в рядку i і стовпці j. Замість нуля, що стоїть на цьому місці в одиничної матриці, в матриці Тi j () коштує число . Матриця Тij () А буде відрізнятися від матриці А тільки рядком з номером i. Елементи цього рядка будуть мати вигляд аi k + аj k (k = 1. n), т. Е. До елементів рядка i додаються елементи рядка j. помножені на число . Тому множення матриці Тij () зліва на матрицю А будемо називати "операцією додавання рядків".
П р и м і р. Розглянемо множення матриці А, з попереднього прикладу, на матрицю Т23 (2).
Припустимо, що матрицю А можна привести до діагонального вигляду за допомогою деякої послідовності операцій додавання рядків і множення рядка на число. Тоді, застосовуючи ту ж послідовність операцій до одиничної матриці, отримаємо зворотну матрицю.
Дійсно, застосування даної послідовності операцій до матриці А можна записати у вигляді добутку
використовуючи властивості одиничної матриці, отримаємо
Остання рівність означає, що