Нехай - Афінний простір, де - лінійний простір над полем.
Определеніе.Аффінной квадратичною функцією називається відображення. для котрого
існує квадратична функція.
існує лінійна функція. такі, що для будь-якої точки справедливо рівність.
Нехай задана система координат. і - координати точки. тобто координати вектора в базисі. - матриця квадратичної функції в базисі і. отримуємо
Перейдемо до системи координат з новим центром. і нехай - координати в системі. Тоді. тобто . отримуємо
де. . Отримуємо, що чисто квадратична функція не залежить від вибору точки і.
Визначення. Точка називається центральної для афінної квадратичної функції. якщо для будь-якого вектора справедливо рівність. Центр аффинной квадратичної функції - це множина всіх її центральних точок.
Теорема. Якщо центр аффинной квадратичної функції на вимірному афінному просторі не порожній, то він є площиною розмірності. У разі, коли чисто квадратична частина невирождени, для є рівно одна центральна точка.
Зауваження. Нехай дана квадратична функція від координат точки. Щоб знайти центр потрібно вирішити систему рівнянь.
Якщо - центральна точка, то.
Нехай і - дві центральні точки. Тоді і. Отже, і для будь-якого вектора вірні рівності і. Отримуємо, що пряма, що проходить через і. складається з центральних точок.
Визначення. Аффінно квадратична функція називається центральної. якщо її центр не порожній.
Теорема. Для будь-якої аффинной квадратичної функції в вимірному афінному просторі існує канонічна система координат. в якій
. якщо є центральною,
. якщо не є центральною. Тут - координати точки. Канонічний вид аффинной квадратичної функції не залежить від вибору канонічного базису.
Теорема. Для будь-якої аффинной квадратичної функції в вимірному евклідовому просторі існує канонічна прямокутна система координат. в якій
. якщо є центральною,
. якщо не є центральною. Тут 0 $ "> і.
Визначення. Нехай - аффінно квадратична функція. Квадрика - це безліч всіх таких точок. що. Квадрика називається центральної. якщо вона задається центральної квадратичною функцією.
Теорема. Для будь-якої квадрік в матеріальному -мірному афінному просторі існує відповідна система координат, в якій квадрика має рівняння одного з наступного типів:
. . . або. . якщо квадрика є центральною;
. . . якщо квадрика не є центральною.
-- якщо. то еліпсоїд,
-- якщо. то уявний еліпсоїд,
-- якщо 0 $ "> і. то гіперболоіди,
-- якщо. то циліндри;
-- якщо. то конуси,
-- якщо. то конічні циліндри;
-- якщо. то параболоїди (- еліптичні, інакше - гіперболічні),
-- якщо. то параболічний циліндр.
Теорема. Для будь-якої квадрік в матеріальному -мірному Евклідовому афінному просторі існує канонічна прямокутна система координат, в якій квадрика задається рівнянням одного з наступного типів:
. . . або. . якщо квадрика є центральною;
. . . якщо квадрика не є центральною. Тут все 0 $ ">.