Афінний перетворення

Під перетворенням розуміється відображення безлічі на себе. Іншими словами, перетворення - це правило, відповідно до якого кожному елементу множини ставиться у відповідність елемент цього ж множини.

Перетворення площини (простору) називається аффінним. якщо існують такі дві аффінниє системи координат, що координати будь-якої точки в першій системі координат збігаються з координатами її образу в другій системі координат.

Афінний перетворення можна розглядати як послідовне застосування (композицію) двох відображень:

  1. Точці ставиться у відповідність координати щодо першої системи координат;
  2. Отриманими координатами ставиться у відповідність точка щодо другої системи координат.

Нехай f - Афінний перетворення. Розглянемо вектор A B → >> в першій системі координат і f (A) f (B) → >> в другій. Так як координати вектора визначаються як різниця координат кінця та початку, а координати точок A і f (A). B і f (B) рівні у відповідних системах координат, то вектор f (A) f (B) → >> має ті ж координати щодо другої системи координат, що і вектор A B → >> щодо першої.

Таким чином у визначенні афінного перетворення можна було розглядати вектори замість точок.

Нехай перша система координат задана своїм репером O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _>. Базисні вектори, відкладені від точки O визначають деякі точки M i>. Тоді, очевидно, друга система координат визначається репером O 'e 1' e 2 'e 3' '_ \ mathbf' _ \ mathbf '_>. де O '= f (O). e 1 '= O' f (M 1) →. e 2 '= O' f (M 2) →. e 3 '= O' f (M 3) → '_ =) >>, \ mathbf' _ =) >>, \ mathbf '_ =) >>>.

Перетворення координат точки Правити

Розглянемо дві аффінниє системи координат, заданих своїми реперами O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _> і O 'e 1' e 2 'e 3' '_ \ mathbf' _ \ mathbf '_>. Нехай координати точки O 'і базисних векторів другого репера щодо першої системи координат виражаються наступним чином:

Розглянемо довільну точку M. Нехай її координати в першій і другій системах координат (x. Y. Z) і (x '. Y'. Z ') відповідно. Визначимо як пов'язані між собою ці координати. очевидно,

Оскільки базисні вектори лінійно незалежні, то матриця перетворення координат повинна бути невироджених (визначник не дорівнює нулю).

Перетворення координат вектора Правити

Нехай дано вектор з координатами щодо першої системи координат a = >. Якщо прикласти його до точки O цей вектор визначить точку M = (x. Y. Z). Визначимо координати перетвореного вектора щодо першої системи координат a '= f (a) = >. У реформованій системі координат точки O і M мають координати

Таким чином, координати вектора O M → >> в реформованій системі координат

Афінний перетворення називається изометрическим. якщо воно зберігає відстані між точками.

Розглянемо будь-які три точки A. B. C. що не лежать на одній прямій. Нехай точки A '. B '. C 'отримані з них за допомогою ізометричного перетворення. Так як відстані між точками не змінилося, то △ A B C = △ A 'B' C 'Звідси випливає, що ізометричне перетворення не змінює кути між прямими.

Матриця изометрического перетворення ортогональна.

Позначимо f - ізометричне перетворення, A - його матриця, O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _> - аффинная система координат, причому базисні вектори мають одиничну довжину.

Базисні вектори перетвореної системи координат, очевидно, рівні e i '= A e i' _ = A \ mathbf _>. Оскільки ізометричне перетворення не змінює кути, то e i '⋅ e j' = e i ⋅ e j '_ \ cdot \ mathbf' _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _>. перетворимо

ei '⋅ ej' = (A ei) ⋅ (A ej) = (A ei) TA ej = ei TATA ej = ei ⋅ ej = ei T ej '_ \ cdot \ mathbf' _ = (A \ mathbf _) \ cdot (A \ mathbf _) = (A \ mathbf _) ^ A \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ A ^ A \ mathbf _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ \ mathbf _>

де G - ортогональна матриця 2 × 2.

Далі необхідно розглянути кілька випадків

  • det G = 1. Тоді G = [cos ⁡ φ - sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ] \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi \ Cos \ varphi \ end >>
    • φ = 0
      • Якщо det A = 1. то матриця A відповідає паралельного переносу (окремий випадок гвинтового обертання)
      • Якщо det A = - 1. то за допомогою зсуву як в попередній теоремі доводиться, що перетворення - змінна симетрія.
    • Якщо φ ≠ 0. то можна знайти нерухому точку (0. y *. z *), z _)>. за допомогою зсуву в неї доводиться, що перетворення - гвинтове або дзеркальне обертання в залежності від знака.
  • det G = - 1
Тоді можна вибрати такі орт, що

Таким чином первісна матриця приводиться до одного з двох видів

Схожі статті