У разі якщо
- поле характеристики
, то властивість антикоммутативність еквівалентно умові 1.
Приклад 1. Простір
з операцією векторного твори є алгеброю Лі.
Приклад 2. Цілий клас прикладів алгебр Лі доставляють класичні алгебри Лі.
Визначення 2. Два елементи
алгебри Лі
називаються коммутирующими 3). якщо
.
Визначення 3. Алгебра Лі
називається абельовой 4). якщо будь-які два її елемента коммутируют:
Визначення 4. Алгебра Лі
називається простий 5). якщо
і
не має власних ідеалів.
структурні константи
Визначення 5. Нехай
- скінченновимірна алгебра Лі над полем
з базисом
. 6) Тоді твір будь-яких двох елементів з базису можна записати у вигляді
. елементи
називаються структурними константами алгебри Лі 7).
Пропозиція 1. Набір
елементів з поля
є набором структурних констант деякої алгебри Лі тоді і тільки тоді, коли виконані умови
,
.
Алгебра Лі асоціативної алгебри
нехай
- довільна асоціативна алгебра з операцією множення
над комутативним асоціативним кільцем з одиницею
.
Визначення 6. На
можна задати структуру алгебри Лі за таким правилом:
. При цьому алгебру
з множенням
позначають через
і називають алгеброю Лі асоціативної алгебри 8)
.
Приклад 3. Нехай
- асоціативна алгебра матриць порядку
над полем
. Операція коммутирования:
, де
наділяє
структурою алгебри Лі.
Приклад 4. Нехай
- векторний простір над полем
, і
- асоціативна алгебра лінійних операторів на
, де операцією множення є композиція лінійних операторів. Алгебра Лі асоціативної алгебри
називається повною лінійною алгеброю.
Алгебри Лі диференціювань
Приклад 5. Алгебра Лі диференціювань довільної алгебри.
Приклад 6. Алгебра Лі внутрішніх диференціювання алгебри Лі
.
Схожі статті
