Нагадаємо властивість 6 з елементарних властивостей визначника. величина визначника не зміниться якщо додати до будь-якої його рядку будь-яку іншу рядок, помножену на довільну константу. Цей факт можна використовувати для того, щоб «зробити» в визначнику побільше елементів рівних нулю, тому що містять ці елементи складові випадуть з повного розкладання визначника. Ще одне елементарне властивість - властивість 2. стверджує, що перестановка рядків змінить знак визначника, але не змінить його абсолютну величину. Користуючись цими двома перетвореннями, можемо поставити за мету привести визначник до трикутного вигляду, тобто до виду
Тоді, на підставі слідства до теоремі Лапласа. величина вихідного визначника з точністю до знака буде збігатися з твором діагональних елементів:
Формалізувати приведення визначника до трикутного вигляду можливо за допомогою используюшую при вирішенні систем лінійних рівнянь методу Гаусса. Так, перший крок перетворення визначника
буде складатися в «обнулення» елементів першого стовпця: з другого рядка віднімається перша, домноженная на. з третього рядка - перша, домноженная на і т.д. Всі ці операції не змінюють величини визначника, але перетворять його до виду
(за умови ). Тепер можна розкласти по на одну і звести задачу до обчислення визначника порядку.
Рішення. Віднімаємо перший рядок, помножену на відповідні числа, з інших рядків, домагаючись появи нулів в першому стовпці:
Виносимо загальний множник елементів останнього рядка:
Оскільки елемент, що стоїть в другому рядку і другому стовпці нульовий, то поміняємо місцями другу і п'яту рядки, при цьому знак визначника зміниться:
Тепер за допомогою другого рядка звертаємо в нуль елементи другого стовпця:
Щоб уникнути появи дрібних елементів, поміняємо місцями третю і четверту рядки, визначник при цьому знову поміняє знак:
Приклад. Чи вірно рівність
Рішення. Фактичне обчислення подібного визначника - яким би методом ми не скористалися - завдання досить трудомістка. Однак питання ставиться не про фактичному значенні. а про рівність його нулю. Ця обставина може спростити обчислення. Позначимо невідоме значення визначника через; очевидно це число ціле. Якщо. то і його залишок при діленні на будь-яке число теж повинен бути рівним нулю. Якщо ж хоч для одного виконається умова. то і. Обчислення визначника фактично зводиться до множення елементів визначника. Якщо ж ми ставимо завдання визначення залишку від ділення цього виразу на. то має сенс відразу ж «скоротити» кожен елемент визначника до його залишку від ділення на.
Візьмемо спочатку. тобто від кожного елемента визначника залишаємо тільки останню цифру:
Отже, отриманий відповідь є необхідним, але не достатньою умовою рівності визначника нулю. Зробимо ще одну перевірку: візьмемо.
Відповідь. Рівність невірно.
Зрозуміло, що якби визначник дорівнював нулю, то кожне обчислення по модулю тільки «збільшувало б достовірність» цієї події.
Чи можна на основі серії модулярних обчислень встановити справжнє значення визначника?
А складувати зустрілися на моєму шляху цілочисельні визначники буду ☞ ТУТ.