Алгебраїчна і геометрична кратності власних значень і їх взаємозв'язок

Алгебраїчна кратність власного числа - його кратність, як кореня характеристичного многочлена.

Геометрична кратність власного числа - розмірність його власного підпростору ker (A- λI).

З критерію власного значення слід, що геометрична кратність власного числа строго позитивний. а так само те, що геометрична кратність не перевищує алгебраїчну. Звідси випливає, що якщо алгебраїчна кратність дорівнює 1, то геометрична теж дорівнює 1.

Критерій діагоналізіруемості матриці лінійного оператора, достатні умови діагоналізіруемості лінійного оператора.

Критерій: Матриця Ае оператора АL (Vn) в базисі [e> має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли базисні вектораe1, e2, ... en є власними векторами оператора А. При це матриця Ае в базисі з власних векторів має вигляд :, гдеλ - власні значення оператора А:

Док-во: Достатність. Якщо базис [e] відбутися з з власних векторів оператора А, т.е.Aek = λkek, то згідно з визначенням матриці лінійного оператора імеетAe - діагональну матрицю ізλ1 ... n ..

Необхідність. Нехай матриця Ау лінійного оператора А в даному базисі [e] має вигляд діагональної матриці ізλ1 ... n. Тоді очевидно, для любогоi = 1 ... .n Аei = λiei, теe1, e2, ... en - власні вектора аλ1, λ2, λ3 ... .λn - власні значення оператора А. ЧТД.

Теорема Гамільтона-Келі

Многочлен p (λ) змінної λ називається анулює для квадратної матриці A, якщо при підстановці в многочлен матриці A замість змінної λ отримуємо нульову матрицю, тобто p (A) = O.

Для будь-якої квадратної матриці А многочлен називається характеристичним.

Теорема: Характеристичний многочлен матриці є анулює для неї, тобто

Док-во: Позначимо черезматріцу, приєднаної до характеристичної матриці. Тоді з теореми слід

Праві частини цих рівностей можна розглядати як многочлени з матричними коефіцієнтами (кожен коефіцієнт характеристичного многочлена множиться на одиничну матрицю). З рівності вище випливає, що λ-матриця ділиться на (A-λE) зліва і справа без залишку, тобто залишок дорівнює нульовий матриці. Пообобщенной теоремі Безуостаток дорівнює лівому і правому значенням многочленапрі підстановці матриці A замість A. Звідси отримуємо = 0, тобто, що й треба було довести.

Схожі статті