Алгебраїчне число над полем - елемент алгебраїчного замикання поля, тобто корінь многочлена з коефіцієнтами з.
Якщо поле не вказується, то передбачається поле раціональних чисел. тобто, в цьому випадку поле алгебраїчних чисел зазвичай позначається. Поле є підполем поля комплексних чисел.
Пов'язані визначення Правити
- Дійсне число. яка не є алгебраїчним, називається трансцендентним.
- Цілими алгебраїчними числами називаються корені многочленів з цілими коефіцієнтами і зі старшим коефіцієнтом одиниця.
- Якщо - алгебраїчне число, то серед усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, що мають своїм коренем, існує єдиний многочлен найменшою мірою зі старшим коефіцієнтом, рівним. Такий многочлен автоматично є непріводімим, він називається канонічним. або мінімальним. многочленом алгебраїчного числа.
- Ступінь канонічного многочлена називається ступенем алгебраїчного числа.
- Інші коріння канонічного многочлена називаються зв'язаними к.
- Висотою алгебраїчного числа називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів у приводиться і примітивному многочлене з цілими коефіцієнтами, що має своїм коренем.
приклади Правити
- Раціональні числа. і тільки вони, є алгебраїчними числами 1-го ступеня.
- Уявна одиниця так само як є алгебраїчними числами 2-го ступеня. Сполученими до цих чисел є відповідно і.
- При будь-якому натуральному, є алгебраїчним числом го ступеня.
властивості Правити
- Безліч алгебраїчних чисел лічильно (Теорема Кантора).
- Безліч алгебраїчних чисел щільно в комплексній площині.
- Сума, різниця, добуток і частку двох алгебраїчних чисел (крім поділу на нуль) суть алгебраїчні числа, тобто безліч всіх чисел алгебри утворює поле.
- Корінь многочлена з алгебраїчними коефіцієнтами є алгебраїчне число, тобто поле алгебраїчних чисел алгебраїчно замкнуто.
- Для будь-якого алгебраїчного числа існує таке натуральне, що - ціле число алгебри.
- Алгебраїчне число ступеня має різних сполучених чисел (включаючи себе).
- і пов'язані тоді і тільки тоді, коли існує автоморфизм поля, що переводить в.
Історія Правити
Вперше алгебраїчні поля став розглядати Гаусс. При обгрунтуванні теорії біквадратичних відрахувань він розвинув арифметику цілих гауссових чисел. тобто чисел виду, де і - цілі числа. Далі, вивчаючи теорію кубічних відрахувань, Якобі і Ейзенштейн (F. Eisenstein) створили арифметику чисел виду, де - кубічний корінь з одиниці, а й - цілі числа. У 1844 році Ж. Лиувилль довів теорему про неможливість занадто хорошого наближення коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами раціональними дробами, і, як наслідок, ввів формальні поняття алгебраїчних і трансцендентних (т. Е. Всіх інших речових) чисел. Спроби довести велику теорему Ферма привели Е. Куммера (Е. Kummer) до вивчення полів розподілу кола. введенню поняття ідеалу і створення елементів теорії чисел алгебри. У роботах Діріхле. Кронекера. Гільберта та інших теорія алгебраїчних чисел отримала свій подальший розвиток. Великий внесок в неї внесли російські математики Е. І. Золотарьов (теорія ідеалів), Г. Ф. Вороний (кубічні ірраціональності, одиниці кубічних полів), А. А. Марков (кубічну поле), Ю. В. Сохоцкій (теорія ідеалів) та інші.