- Комплексне число. яка не є алгебраїчним, називається трансцендентним.
- Цілими алгебраїчними числами називаються корені многочленів з цілими коефіцієнтами і зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.
- Якщо α - алгебраїчне число, то серед усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, що мають α своїм корінням, існує єдиний многочлен найменшою мірою зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці. Такий многочлен називається мінімальним. або канонічним многочленом алгебраїчного числа α (іноді канонічним називають многочлен, що виходить з мінімального домноженіем на найменше спільне кратне знаменників його коефіцієнтів, тобто многочлен з цілими коефіцієнтами).
- Мінімальний многочлен завжди є непріводімим.
- Ступінь канонічного многочлена α називається ступенем алгебраїчного числа α.
- Інші коріння канонічного многочлена α називаються зв'язаними до α.
- Висотою алгебраїчного числа α називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів у приводиться і примітивному многочлене з цілими коефіцієнтами, що має α своїм корінням.
Даний розділ має надмірний обсяг або містить незначні подробиці.
Якщо ви не згодні з цим, будь ласка, покажіть в тексті істотність, що викладається. В іншому випадку розділ може бути видалений. Подробиці можуть бути на сторінці обговорення.
- Безліч алгебраїчних чисел лічильно. а отже, його міра дорівнює нулю.
- Безліч алгебраїчних чисел щільно на комплексній площині.
- Сума, різниця, добуток і частку [1] двох алгебраїчних чисел - алгебраїчні числа, тобто безліч всіх чисел алгебри утворює поле.
- Корінь многочлена з алгебраїчними коефіцієнтами є алгебраїчне число, тобто поле алгебраїчних чисел алгебраїчно замкнуто.
- Для будь-якого алгебраїчного числа α існує таке натуральне N. що N α - ціле число алгебри.
- Алгебраїчне число α ступеня n має n різних сполучених чисел (включаючи себе).
- α і β пов'язані тоді і тільки тоді. коли існує автоморфизм поля A. переводить α в β.
- Будь-яке алгебраїчне число обчислюваних. а отже, Арифметичний.
- Порядок на безлічі дійсних чисел алгебри ізоморфний порядку на безлічі раціональних чисел. [Прояснити]
Вперше алгебраїчні поля став розглядати Гаусс. При обгрунтуванні теорії біквадратичних відрахувань він розвинув арифметику цілих гауссових чисел. тобто чисел виду a + b i. де a і b - цілі числа. Далі, вивчаючи теорію кубічних відрахувань, Якобі і Ейзенштейн створили арифметику чисел виду a + b ρ. де ρ = (- 1 + i 3) / 2>) / 2> - кубічний корінь з одиниці. а a і b - цілі числа. У 1844 році Лиувилль довів теорему про неможливість занадто хорошого наближення коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами раціональними дробами, і, як наслідок, ввів формальні поняття алгебраїчних і трансцендентних (тобто всіх інших речових) чисел. Спроби довести велику теорему Ферма привели Куммера до вивчення полів розподілу кола. введенню поняття ідеалу і створення елементів теорії чисел алгебри. У роботах Діріхле. Кронекера. Гільберта та інших теорія алгебраїчних чисел отримала свій подальший розвиток. Великий внесок в неї внесли російські математики Золотарьов (теорія ідеалів), Вороний (кубічні ірраціональності, одиниці кубічних полів), Марков (кубічну поле), Сохоцкій (теорія ідеалів) і інші.