Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Мінором елемента матриці А називається визначник матриці, отриманої з А викреслюванням рядка і стовпця, що містять. Мінор елемента позначається як Mij.
Розглянемо вираз (2.1) для визначника матриці А. Зберемо разом всі складові, які містять елемент і винесемо за дужки. Вираз, що залишився в дужках, називається алгебраїчним доповненням елемента. Позначається як Akp.
Зауваження 2.1.Мінор і алгебраїчне доповнення елемента матриці існують тільки для квадратних матриць!
Розглянемо матрицю (Aij), яка відрізняється від матриці А тільки тим, що на місці елементів в матриці (Aij) стоять їх алгебраїчні доповнення Aij. Транспоніруем матрицю (Aij). Отримана таким чином матриця (Aij) T називається союзної матрицею (по відношенню до матриці А).
Теорема про зв'язок мінору елемента матриці з його алгебраїчним дополненіем.Алгебраіческое доповнення Aij елемента матриці А і його мінор Mij пов'язані співвідношенням
Теорема про розкладання визначника по рядку (стовпцю) .Определітель дорівнює сумі творів всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на їх алгебраїчні доповнення:
Aij (розкладання по j-му стовпцю). (2.5)
Mij (розкладання по j-му стовпцю). (2.7)
Формули (2.6) та (2.7) служать основою для обчислення визначників методом розкладання їх по рядку (стовпцю), який складається в безпосередньому використанні цих формул.
Приклад 2.5. 1) нехай. Обчислення визначника методом розкладання його по дві колонки:
2) обчислення визначника четвертого порядку:
2.42. Обчислити визначник. де.
2.43. Обчислити визначник. де.
Основні поняття і приклади
Ранг матриці - це особлива числова функція, задана на безлічі матриць. На відміну від визначника, ранг матриці існує для матриці будь-якого порядку.
Перш ніж дати визначення рангу матриці, розглянемо поняття мінору матриці.
Мінором k-го порядку матриці А називається визначник матриці, складеної з елементів будь-яких k виділених рядків і будь-яких k виділених стовпців початкової матриці А.
Поняття мінору k- го порядку широко використовується в лінійної алгебри. На відміну від мінору елемента матриці, мінор k- го порядку не пов'язаний з конкретним елементом матриці і існує для будь-яких, а не тільки для квадратних матриць. Миноров k- го порядку для будь-якої матриці може бути багато. Наприклад, для матриці порядку кількість миноров k- го порядку визначається числом
Головним, або кутовим мінор k-го порядку матриці називається мінор, складений з перших k рядків і перших k стовпців цієї матриці.
Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Позначається як.
Будь відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці, називається її базисним мінор.