Аналіз групуючій секції лінійного прискорювача.
Наближене зміна фази і енергії коливається частки було знайдено в § 4.2 з лінеаризованого рівняння руху із застосуванням адіабатичній теореми. Формула (4.70) дає зміна амплітуди осцилятора в адіабатичній перехідною області
де частота коливань; поздовжня маса; для зручності позначень опущена риска над амплітудою обурення Підставляючи замість їх значення з (4.62) і (4.68) відповідно, отримуємо
яке дає зміна амплітуди в залежності від зміни параметрів прискорювача. Як і раніше, швидкість і фаза неколеблющейся частки; максимальне значення прискорює поля; заряд частинки; - частота високочастотного поля; с - швидкість світла. Вводячи повну енергію частинки зі стійкою фазою і з огляду на ставлення параметрів в кінцевій і початковій областях, отримуємо ставлення початкового розкиду швидкостей до кінцевого:
де індекси означають відповідно початкові і кінцеві значення величин. Так як твір (також опущена риска над повинно залишатися постійним в силу адіабатичній теореми, отримуємо зміну імпульсу до зміни параметрів. Ми відзначали, що для невеликих змін імпульсу залежність між зміною енергії і зміною імпульсу дається з розкладання в ряд Тейлора як Зауважимо, що зміна енергії в лабораторній системі, не рівне енергії осцилятора в рухомій системі. з (4.132) і співвідношення з пропорційністю між отримуємо відношення розкиду часток по енергії в кінцевій області до началь ної:
Тепер може бути отриманий розкид кінцевої фази і енергії. Кінцевий розкид по фазах знаходять, комбінуючи початковий розкид з фазової угрупованням, що задається виразом (4.133). Знаходячи початковий розкид по енергіях для заданих початкових умов і підставляючи це значення в (4.133), ми отримуємо розкид по енергіях в кінці группірователі:
де фаза частинок на вході группірователі; вважаємо, що розкид по енергіях еміттанса незначний. Тепер ми маємо рівняння, за допомогою якого можна визначити характер варіювання параметрів, щоб домогтися максимального групування і мінімального розкиду по енергіях. З (4.132) видно, що групування вимагає великого відношення початкового поля до кінцевого, а також, якщо частинки при інжекції нерелятивістському, гарне групування вимагає великих початкових швидкостей. Так як прискорює поле обмежено, вимога максимального групування і мінімального розкиду по енергії зводиться до того, щоб було зроблено якомога маленьким. Використовуючи (4.134), знаходять мінімум по відношенню до швидкості, який має місце
для маленьких значень початкових швидкостей, що суперечить вимозі (4.132). Однак швидкість не є чутливим параметром і при її виборі керуються практичними міркуваннями. Якщо частинки виходять з джерела з великим розкидом по енергіях, то початкове поле повинно бути достатньо великим, щоб захопити ці частинки, але зазвичай розкид незначний. Мінімальне значення поля, яке може бути отримано на початку прискорювача, залежить від властивостей прискорює структури.
У наведених вище міркуваннях, ми припустили адіабатічность області группірователя. Це припущення не є виправданою необхідністю, параметри можуть значно змінюватися за одне фазовий коливання. Тому повернемося до § 2.3, в якому розвинена теорія мінімізації зростання площі фазового простору. У лінійному наближенні ми знайшли, що якщо зміна на одиницю фазового зміни пропорційно самому т. Е.
то зростання площі фазового простору може бути зменшений, але це зростання звичайно малий. Тут хвильової вектор, константа малості. Вводячи величину відносини осей, яке, як видно з (4.67), так само стає
Рівняння (4.136) має вирішуватися одночасно з рівнянням руху частинки зі стійкою фазою. Перетворимо (4.56) і (4.136) так, щоб вони містили лише змінні і параметр Після деяких алгебраїчних перетворень отримуємо рівняння сили
і рівняння постійної ступеня зміни ставлення осей
яке є системою двох нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку для з параметром Потім, щоб отримати однозначне рішення через фіксуємо а потім змінюємо незалежно, щоб отримати бажаний компроміс між збереженням фазового простору і невеликою протяжністю секції групування.
Як приклад розглянемо невеликий группірователь [18], який вимагає як обмеження по фазі, так і обмеження розкиду по енергії. Його параметри:
навантаженням пучком); рад / сек. Максимальне поле визначається опором і потужністю на вході. Поле на вході було вибрано по можливості малим відповідно до конструктивних особливостей. Значення початкової швидкості є компромісним між суперечливими вимогами і тією швидкістю, яка може бути отримана в реальних електронних гарматах.
Мал. 4.11. (Див. Скан) Конструювання групуючій секції лінійного прискорювача зміна поля і швидкості для мінімізації зростання поздовжнього фазового простору (б).
Наступна вимога полягає в тому, щоб групує секція (область мінливого поля) була якомога коротше, щоб зменшити повну довжину прискорювача. Положення стійкої фази вибрано так, щоб забезпечити достатньо широкий аксептанс [приблизно 135 °, як випливає з (4.65)] і в той же час висока початкова прискорення.
На рис. 4.11 нанесено зміна поля і швидкості з відстанню для різних значень параметра
Зміна сильно впливає на криві в цілому, але не робить помітного впливу на їх початковий нахил. Початковий нахил в першу чергу визначаємося початковими умовами. Зміна дає додатковий ступінь свободи, за допомогою якої можна або варіювати довжину групуючій секції до бажаного розміру, або забезпечити плавний перехід в головну прискорює секцію. Для наших параметрів всі ці вимоги виявилися сумісними.
Теорія группірователя перевіряється безпосереднім інтегруванням рівнянь руху із залученням чисельних методів. Для розрахунку орбіт, наведених тут, вибрано так, щоб зменшити розрив в похідною поля на краю групуючій секції. Шунтовий імпеданс і довжину втрат решти прискорювача вважають постійними, а швидкість хвилі регулюють з тим, щоб вона залишалася синхронної з стійкою по фазі часткою. Напруженість поля відчуває природне затухання через втрати в хвилеводі. Інтегрування - виконано по всій довжині - (75 см) прискорювача, при цьому кінетична енергія частинки зі стійкою фазою на виході прискорювача складає 2,598 МеВ. Знайдено, що область фазової стійкості зміщується трохи далі по хвилі в бік більш високих швидкостей. Область фазової стійкості більше очікуваної як для розкиду по імпульсам, так і для розкиду по фазах. Для частки зі стійкою фазою при і кінетичної енергії інжекції обчислені з гамильтониана кордону аксептанса дають, що стійкі коливання частинок відбуваються між фазами при енергії, відповідної стійкої фазі, і з кінетичними енергіями в межах при положенні стійкої фази. Обчислення на ЕОМ дають область стійкості по фазах від і до і по енергіях між 0,055 і Це свідчить про збільшення площі аксептанса приблизно на 30%. Фазова угруповання і дозвіл по енергіях на цих кордонах, однак, не є достатніми, так що обчислення орбіт, використовувані для перевірки теорії группірователя, взяті для фаз в межах від до Проводилось два типи розрахунків: один для визначення ефективності фазового простору, зайнятого частками, які в початковий момент розподілені по всіх фазах, але без розкиду по енергії, і другий для визначення ефективного фазового простору всіх частинок, укладених усередині заданої початкової кривої постійного гамильтониана. Перший розрахунок дозволяє визначити, яка частина ефективної площі в силу нітеобразованія заповнена частками. На рис. 4.12 орбіти на двох краях аксептанса нанесені на -фазовой площі по відношенню до частки зі стійкою фазою, тут відраховується від енергії частинки зі стійкою фазою, а фаза хвилі, що біжить. Заштрихованная область - еліпс, всередині якого повинні бути виявлені частинки на виході. Пунктирні лінії - продовження цих крайніх орбіт для лінії постійного гамильтониана
в наближенні незначних відхилень імпульсу під час коливань. Ми бачимо, що початкова ефективна фазова площа (площа, яка знаходиться всередині орбіти частинки, що відповідає постійному гамільтоніану) більше, ніж еліпс еміттанса на виході прискорювача (заштрихована площа). Значення еліпса еміттанса полягає в тому, що він є найменшою областю, яка може бути узгоджена з фазовим простором лінійної системи, причому так, що будуть захоплені всі частинки. Для консервативних систем є нерівності площ фазового простору
за умови, що захоплюється все фазовий простір джерела. Перше нерівність виконується тому, що фазовий простір, зайняте частками у джерела, не може зменшуватися в силу теореми Ліувілля.
Мал. 4.12. Фазові траєкторії і оптимально сконструйованому лінійному прискорювачі.
Друге нерівність виконується, так як ефективна площа укладає все еліпси, за якими частинки можуть коливатися, і, таким чином, повинна включати еліпс еміттанса.
Частинки потрапляють в группірователь, будучи розкиданими по фазах, але маючи незначний розкид по енергіях. Через подальшого значного неузгодженості вони роблять коливання по значній площі в фазовому просторі. Як описано в гл. 1 і 3, нелінійний характер сили, спрямованої до положення рівноваги, веде до нітеобразованію в фазовому просторі. Після багатьох коливань частинки можуть виявитися всередині будь-якої маленької області фазового простору, обмеженою коливаннями. З іншого боку, якщо потенційна яма змінилася неадіабатичних до того, як фазовий простір стало ниткоподібним, гамильтониан після зміни буде залежати не тільки від
початкового гамільтоніана частки, але також від її фази. Таким чином, перетворення фазового простору, в дійсності зайнятого частками, що не буде тотожним перетворенню ефективного фазового простору, пов'язаного з початковими коливаннями. У гл. 3 ці зв'язки обговорювалися досить докладно.
У другому розрахунку ми перевіряли справедливість адіабатичній теорії визначенням перетворення всього ефективного фазового простору. Цей розрахунок має також деякі практичні додатки в зв'язку з використанням резонатора попереднього группірователя з протонним лінійним прискорювачем. В цьому випадку розкид по енергіях попереднього группірователя може бути порівнянним з розкидом по енергії аксептанса группірователя.
Мал. 4.13, Чисельний розрахунок перетворення поздовжнього фазового простору в лінійному прискорювачі.
Так само, якщо об'єднати два етапи попереднього групування, можна отримати узгодження відносини осей, яке еквівалентно тому, що ми робимо ефективну фазову область і еміттанс ідентичними. Спочатку перевіримо можливість застосування результатів гл. 2, для цього обчислимо що в нашому випадку приблизно дорівнює 1/5. Значення цієї величини виправдовує процедуру розкладання в ряд по крайней мере з точністю до членів другого порядку малості; це необхідно для обчислення зростання площі фазового простору. З (4.99) знаходимо, що зростання площі фазового простору становить приблизно 10%. Щоб перевірити теорію, вибираємо квазілінійну область, т. Е. Область, в якій сила, спрямована до положення рівноваги,
лінійно зростає з відстанню, хоча вона і не є строго лінійної. Тому обмежимо розглянуту область фазового простору гамильтонианом частки, що входить при і без перевищення швидкості. Цей гамільтоніан (крива а) зображений на рис. 4.13. Потім вводимо сімейство частинок, початкові умови яких відповідають цим значенням гамильтониана (х-точки). Ці ж самі частинки потім знову наносимо в кінці секції группірователя -точка) і, вираховуючи площу, знаходимо, що зростання площі фазового простору становить 10% від збільшення площі, знайденого. з лінійною адіабатичній теорії, таким чином, підтверджуючи результати навіть для досить швидко змінюються параметрів і в слабо нелінійної області.