§ 10.10. Апроксимація частотних характеристик.
Апроксимація - це наближена заміна заданої частотної залежності інший частотної залежністю, яка точно збігається із заданою в обмеженому числі точок, відхиляється від неї в допустимих межах поза цих точок, даючи в той же час фізично реалізовану функцію. Наприклад, крива рис. 10.13, а - це частотна характеристика ідеального фільтра НЧ де передавальна функція; де - безрозмірна величина, що дорівнює частоті зрізу.
В діапазоні зміни від 0 до при Пунктирна крива 1 рис. 10.13, б повторює криву рис. 10.13, а, крива 2 характеризує гладку апроксимацію, при якій відхилення від кривої 1 неоднаково в діапазоні апроксимації. Крива 3 ілюструє равноволновую апроксимацію, при якій абсолютні значення максимальних відхилень від середньої лінії в обидві сторони однакові. Гладку апроксимацію здійснюють зазвичай пбліномамі Баттерворта, равноволновую - полиномами Чебишева. Відомі й інші способи апроксимації [9, 17], у кожного з них є свої переваги і недоліки.
Гладка апроксимація. Стосовно до фільтру НЧ апроксимацію квадрата модуля передавальної функції чотириполюсника здійснюють так:
Приймають, що при звідки Вважаючи знайдемо полюси
При непарних при парних
Полюси розташовані симетрично по колу одиничного радіуса. Поліноми () утворюють знаменник і називаються полиномами Баттерворта. При складанні їх використовують значення, що знаходяться тільки в лівій півплощині. Це забезпечує фізичну здійсненність. Запишемо поліноми при при при
Переймаючись необхідним загасанням фільтра в децибелах (зазвичай при визначимо:
Наприклад, при. У розглянутому прикладі
Функцію K (р) реалізують відомими методами.
Равноволновая апроксимація. Поліноми Чебишева порядку записують в тригонометричної формі:
Вважаючи і маючи на увазі, що, а отримаємо алгебраїчну форму запису полиномов:
В інтервалі коливається від 1 до -1 (рис. 10.14, а). При монотонно зростає.
Квадрат модуля нормованої передавальної функції фільтра НЧ з допомогою поліномів Чебишева апроксимують так:
Максимальне відхилення від 1 одно
При т. Е. В області загасання фільтра НЧ,
Зразковий вид апроксимуючої кривої показаний на рис. 10.14, б. Для заданого відхилення у і загасання а в децибелах при полінома Чебишева визначають за формулою
Наприклад, для при Приймаємо
Для складання слід визначити полюси знаходяться в лівій півплощині. Підставами і прирівняємо нулю знаменник
Так як - комплексне число, то - теж комплексне число, яке покладемо рівним Тоді
Дійсні та уявні частини полюсів лежать в лівій півплощині:
З останнього рядка слід, що т. Е. Полюси розташовані на еліпсі, одна піввісь якого дорівнює інша -
У розглянутому прикладі при
Для побудови еліпса креслимо дві окружності одну радіусом іншу радіусом і через початок координат проводимо прямі до перетину з колами під кутами де. У прикладі.
З точок перетину променів з окружністю меншого радіуса проводимо верти калі, а з точок перетину з колом більшого радіусу - горизонталі. Точки перетину відповідних горизонталей і вертикалей на лівій півплощині дають шукані полюси. У прикладі
Нормована передавальна функція
За визначають схему і її нормовані параметри Таблиці полиномов знаменника нормованого низькочастотних фільтрів, апроксимованих різними способами дані в [9,17]. Для переходу від нормованих до дійсним параметрам L, С користуються співвідношеннями і
Якому способу синтезу схеми і якою конкретною схемою слід віддати перевагу, залежить не тільки від вартості і габаритів при практичному здійсненні схеми, а й від того, наскільки фазочастотную характеристики виходять чотириполюсників задовольняють поставленому завданню.
На закінчення відзначимо, що нормування поширюється не тільки на передавальну функцію чотириполюсника, а й на інші функції, зокрема на вхідний опір або провідність двухполюсников.
Якщо апроксимують НЕ передавальну функцію, а вхідний опір (провідність) деякого двухполюсника, то воно зазвичай нормується не тільки по частоті але і по його числовим значенням. При нормуванні по числовим значенням вхідний опір (провідність) ділять на деяку безрозмірну величину При переході від схеми, що реалізує нормоване опір (її параметри і частота), до тієї ж схемою, але з ненормованими параметрами (її опір Z, а параметри R, L, С), останні визначають, зіставивши почленно однакові складові і
В результаті отримаємо де - величина безрозмірна.