Збурює потенціал, гравітаційні аномалії. Крайове умова для обурює потенціалу. Зовнішні та внутрішні крайові задачі Діріхле, Неймана, змішані крайові задачі. Визначення висот геоїда методом Стокcа. Функція Стокса. Визначення ухилень схилу. Формули Венинг-Мейнес.
8.1 обурюється потенціал
Серед фахівців з висот геодезії широко застосовується термін збурює потенціал. як різниця між реальним і нормальним потенціалами в одній точці. Не можна сказати, що термін вдалий. В небесній механіці часто вживається термін ті, хто підбурює сили. обурює силова функція, обурення. Виникає питання, що саме обурює ця сила? Для небесної механіки відповідь ясна - закон руху тіла, робить його відмінним від кеплеровского, невозмущенного. Правда, термінологія московської та петербурзької шкіл небесних механіків розрізняються. Москвичі говорять функція обурює, а петербуржці - пертурбаційний. Так що ж "обурює" збурює потенціал? Відповідь - нічого. Мабуть прав австрійський геодезист Г.Моріц, який пропонує ввести термін аномалія потенціалу. Говоримо ж ми аномалія сили тяжіння. маючи на увазі різницю реальної і нормальної сили тяжіння! Але віддаючи данину традиції, ми будемо вживати термін збурює потенціал саме як різниця реального і нормального потенціалів тяжкості або тяжіння взятих в одній і тій же точці.
Візьмемо точку на поверхні геоїда - рівневої поверхні - з координатами, де геодезична висота точки (відстань від рівневої поверхні до еліпсоїда) Іншими словами це висота геоїда в точці. Дві інші координати - і відповідно геодезичні широта і довгота (див. Лекцію 2, розділ 2.3). На поверхні еліпсоїда точку з такими ж значеннями широти і довготи будемо позначати буквою. Зрозуміло, що висота цієї точки дорівнює нулю. Сила тяжіння в точці.
Нормальна сила тяжіння в точці:
У першому доданку ми диференціюючи потенціал по зовнішньої нормалі до геоїда, а в другому - до еліпсоїда. Ці два напрямки, взагалі кажучи, не збігаються. Правда, відмінність не велике і помилка не перевищує, тобто величину порядку квадрата відхилення прямовисної лінії. Це істотно менше квадрата стиснення, тому в нашому наближенні можна не робити відмінності в напрямках прямовисній лінії і нормалі до еліпсоїда.
"Не будемо про" значення сили тяжіння з точки в точку, застосовуючи формули лінійного наближення
Вертикальний градієнт сили тяжіння, як ми бачили (див. Лекцію 7, рівняння (7.12)), залежить від радіусів кривизни нормальних перетинів і кутової швидкості обертання Землі
де - сферичне відстань між точкою і елементом сферичної поверхні. Уявімо тепер праву частину рівняння (8.6), що задає крайове умова. Для обурює потенціалу справедливо розкладання, де
У класичному вирішенні даного завдання, що отримала назву завдання Стокса, передбачається, що маса еліпсоїда дорівнює масі реальної Землі, тобто, а початок координат збігається з центром мас планети Звідси випливає, що розкладання обурює потенціалу починається з:
Нехтуючи квадратом стиснення, ми знову диференціювання по нормалі замінимо дифференцированием по радіус-вектору
Зауважимо, що при, має бути
Отже, для того, щоб рішення задачі Стокса існувало необхідно, щоб середнє значення змішаних гравітаційних аномалій дорівнювало нулю і, крім того, повинен дорівнювати нулю інтеграл. Тепер рішення крайової задачі для обурює потенціалу набуває вигляду
Підставами сюди інтегральну форму (8.14) для функцій Лапласа:
Оскільки інтегрування ведеться по сфері радіуса у формулі (8.16) ми вважали. введемо позначення
і рішення задачі Стокса приймає остаточний вигляд
Функцію часто називають функцією Стокса. В (8.17) вона задана у вигляді розкладання за ступенями полиномов Лежандра від косинуса центрального відстані. Її "компактний" вид наступний
Легко бачити, що точка - особлива. Тут функція Стокса звертається в нескінченність, проте інтеграл (8.18) сходиться, але при виконанні двох зазначених вище умов, яким повинні задовольняти гравітаційні аномалії. Використовуючи формулу (8.1), яку часто називають формулою Брунса. з обурює потенціалу легко отримати висоти геоїда
Стрімка лінія (вертикаль) збігається з напрям вектора сили тяжіння g.
Вона є нормаллю до рівної поверхні. З іншого боку нормаль до еліпсоїда збігається з напрямком вектора нормальної сили тяжіння. Ці дві нормалі не збігаються. Між ними утворюється кут, який геодезисти називають ухиленням схилу. Не буде помилкою сказати і відхилення прямовисної лінії. Правда виникає питання відхилення від чого? Щоб таких питань не виникало, ми будемо вживати геодезичний термін.
Дві згадані нормалі, продовжені вгору, перетинаються з уявної небесної сферою в точках, одна з яких буде астрономічним зенітом (або просто зенітом), а інша - геодезичним. Зрозуміло, що і площини горизонту астрономічного і геодезичного не збігаються. Домовилися вважати ухилення схилу позитивним, якщо зеніт зміщується в північному або східному напрямку.
Звернемося до локальної геодезичної системі координат з початком в пункті спостережень (точка). Горизонтальні осі PX і PY. як ми знаємо з лекції 7, лежать в площині, перпендикулярній до нормалі до еліпсоїда. Одна з них спрямована на північ, інша - на схід. Ось PZ спрямована вниз по внутрішній нормалі до еліпсоїда. Неважко зрозуміти, що при позитивних "горизонтальних" компонентах вектора сили тяжіння обидві компоненти ухилення схилу будуть негативні. Тому компоненти ухилення схилу в площині меридіана і першого вертикалі відповідно визначають наступним чином
З наведених формул видно, що обидві компоненти - безрозмірні величини, хоча на практиці вони вимірюються в кутових одиницях. Справа в тому, що ухилення схилу на Землі становлять секунди дуги, тому замість тригонометричних формул, що пов'язують ухилення схилу з компонентами вектора сили тяжіння, ми взяли просте ставлення.
З іншого боку