При цьому для виконання умови стаціонарності все коріння многочлена Ф (В) повинні лежати поза одиничним кола, тобто все коріння відповідного характеристичного рівняння повинні бути по модулю більше 1 і різні.
Ця модель може бути представлена у вигляді:
де a - числовий коефіцієнт, | a | <1, et — последовательность случайных величин, образующих “белый шум”.
Основні властивості марковского процесу:
Очевидно, що yt залежить від усіх попередніх, але не від майбутніх випадкових величин et. Звідси c урахуванням характеру "білого шуму". безпосередньо випливає, що М (уt) = 0.
Також отримаємо вираз для дисперсії марковского процесу AR (1), за допомогою виразу (3.3):
Сума нескінченної геометричної прогресії записана за умови | a | <1. Отсюда видно, что при значении a близком к ± 1 дисперсия ряда будет намного больше — дисперсии белого шума. Следовательно, если последовательные значения ряда сильно коррелированны, то даже незначительные возмущения будут порождать размашистые колебания.
Щоб показати властивості 3 і 4, помножимо обидві частини рівняння (3.2) на yt-1 і візьмемо математичне очікування:
де другий доданок M (et yt-1) записано з урахуванням некорельованих значень ряду з будь-якими майбутніми випадковими величинами et. Остаточна запис цього співвідношення
тобто a - коефіцієнт автокореляції першого порядку (визначає значення коефіцієнта парної кореляції між сусідніми рівнями ряду):
Можна показати, що
Тому ступінь тісноти кореляційної зв'язку між членами послідовності експоненціально зменшується в міру їх взаємного видалення один від одного в часі.
Все автокорреляции марковского процесу можна виразити через автокореляцію першого порядку:
Значення приватної автокореляційної функції дорівнюють нулю для всіх лагов k> 2, що може бути використано при підборі моделі. Цей результат вірний для теоретичної приватної автокореляційної функції і може не виконуватися для вибіркової автокореляційної функції. Однак, якщо вибіркові приватні кореляції статистично незначуще відрізняються від нуля при k> 2, то використання моделі AR (1) не суперечить вихідним даним.
Процес з параметром | a |> 1 є нестаціонарним. Такі ряди малоймовірні в реальних фінансово-економічних задачах, так як це має на увазі вибухові ряди, а тиск економічного середовища не дозволяє показниками приймати нескінченно великі значення.
Визначимо вираз для обчислення значень автокореляційної функції r (t). скорочено АКФ, для будь-якого значення зсуву ряду t. Для цього знову помножимо обидві частини рівняння (3.5) на уt-t:
і візьмемо математичне очікування:
Цей вислів дозволяє обчислити значення АКФ для різних значень лагов t. Підставами послідовно в (3. 8) значення t = 1 і t = 2.
З урахуванням того, що r (0) = 1, а r (-1) = r (1), отримаємо
Ця система називається системою Юла-Уокера (Yule- Walker) для AR (2).
Якщо кардинально вплинути на систему щодо a1 і a2, то отримаємо вирази:
Висловимо з системи (3.9) два перших значення АКФ:
Визначивши r (1) і r (2), можна обчислити будь-які наступні значення АКФ за допомогою (3.8).
Отримаємо співвідношення, що зв'язує між собою дисперсію ряду yt і дисперсію білого шуму et, рівну. Для цього помножимо рівняння AR (2) на уt:
Візьмемо математичне очікування:
Від коефіцієнтів автоковаріаціі перейдемо до Автокорреляционная коефіцієнтам, помноживши і розділивши праву частину рівняння на g (0):
Звідси, враховуючи, що дисперсія повинна бути позитивна, отримуємо умови стаціонарності процесу AR (2). Умови стаціонарності ряду у, також можуть бути отримані з урахуванням (6.14) з вимог
Відзначимо, що ті ж самі умови виходять з вимоги, щоб всі корені відповідного характеристичного рівняння 1 - a1 z - a2 z 2 = 0 лежали поза одиничного кола.
Умови стаціонарності процесу AR (2) можуть бути записані у вигляді
1. У моделей AR (p) значення коефіцієнтів АКФ експоненціально загасають (або монотонно, або поперемінно змінюючи знак).