Баканіна Л.П. Завдання про повітряні кулі // Квант. - 1975. - № 1. - С. 60-63.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»
У наше століття літаків і ракет, для яких доступні будь-які висоти над поверхнею Землі, повітряні кулі, громіздкі, ненадійні і некеровані, вже відійшли в минуле, хоча колись саме вони дали людині можливість піднятися в повітря. Втім, в деяких випадках повітряні кулі дуже зручні, вони використовуються і зараз. Наприклад, з аеростата зручно навчати стрибків с. парашутом, а метеорологи досліджують тиск, температуру і повітряні потоки в атмосфері за допомогою куль-зондів.
Завдання про повітряні кулі даються іноді на вступних іспитах. Зазвичай їх можна розділити на два типи:
1) завдання, в яких потрібно знайти зв'язок між габаритами і наповненням кулі і підйомної силою, що діє на кулю у поверхні Землі;
2) завдання, в яких потрібно визначити максимальну висоту підйому кулі; при цьому задається якась модель атмосфери, тобто закон зміни тиску і температури з висотою.
По суті, завдання обох типів - це завдання на статику. Для їх вирішення потрібно вміти застосовувати рівняння стану газів і знайти умова рівноваги кулі, на який діє сила тяжіння Землі і виштовхує сила з боку навколишнього куля повітря. Якщо виштовхуюча сила більше сили тяжіння (різниця цих сил називають підйомної силою), куля піднімається вгору. Але в міру підйому зменшується щільність навколишнього повітря, а, отже, зменшується і виштовхує сила, за законом Архімеда рівна
де ρ - щільність повітря, а V - об'єм кулі. На деякій висоті виштовхує сила дорівнюватиме силі тяжіння - це і буде максимальною висотою підйому кулі.
Розберемо тепер кілька конкретних завдань, які в різні роки пропонувалися на вступних іспитах в Московський фізико-технічний інститут.
Завдання 1. Сферична оболонка повітряної кулі зроблена з матеріалу, квадратний метр якого має масу b = 1 кг / м 2. Куля наповнений гелієм при нормальному атмосферному тиску. При якому мінімальному радіусі куля піднімає сам себе? Температура гелію і температура навколишнього повітря однакові і рівні 0 ºС. Молекулярна маса повітря 29 кг / кмоль, молекулярна маса гелію 4 кг / кмоль.
При збільшенні радіуса кулі виштовхує сила зростає пропорційно кубу радіуса, а вага оболонки - пропорційно квадрату радіусу. Отже, що виштовхує сила зростає швидше і, починаючи з якогось значення радіусу, стане більше, ніж вага оболонки. Тоді куля почне підніматися. Позначимо цей радіус оболонки через r. При цьому
Щільності повітря ρв і гелію ρНе за даних умов знайдемо за допомогою закону Менделєєва-Клапейрона:
Завдання 2. Обсяг повітряної кулі дорівнює V = 230 м 3. маса оболонки М = 145 кг. Куля наповнений гарячим повітрям при нормальному атмосферному тиску. Яку температуру має мати повітря всередині оболонки, щоб куля почала підніматися? Температура зовнішнього повітря t0 = 0 о С.
При нагріванні повітря його щільність зменшується, так як (див. Задачу 1). Куля почне підніматися, якщо (ρ0 - щільність зовнішнього повітря). Підставляючи вирази для щільності зовнішнього повітря і повітря всередині кулі ρ, отримуємо
Завдання 3. Для утримання на поверхні Землі метеорологічного кулі-зонда з масою М = 20 кг необхідно прикласти силу F = 1000 Н. Куля піднімається до такої висоти, де його обсяг збільшується в два рази. Температура повітря, виміряна на цій висоті за допомогою зонда, виявилася рівною t = -43 ºС. Обчислити тиск повітря на цій висоті, якщо на поверхні Землі тиск р0 = 754 мм рт. ст. а температура t0 = 17 ° С.
Умова рівноваги кулі біля поверхні Землі записується так:
де V - об'єм кулі біля поверхні Землі, а - щільність повітря. При цьому маса кулі М включає в себе масу оболонки, приладів і газу, укладеного всередині оболонки. З умови відомо, що об'єм кулі при підйомі збільшується. Отже, оболонка кулі м'яка і герметична. Обсяг збільшується тому, що при м'якій оболонці тиск газу всередині має бути таким же, як тиск навколишнього повітря, яке зменшується з висотою. Якщо оболонка герметична, маса кулі не змінюється при підйомі і максимальна висота його підйому визначається умовою
де. Вирішуючи спільно рівняння (1) і (2), знаходимо
Завдання 4. Шар-зонд, наповнений воднем, має герметичну оболонку постійного обсягу V = 50 м 3. Маса кулі разом з воднем М = 5 кг. Визначити, на яку максимальну висоту він зможе піднятися, якщо відомо, що атмосферний тиск зменшується в два рази через кожні h = 5 км висоти. Температура в стратосфері t = -60 ºС. Молекулярна маса повітря 29 кг / кмоль. Тиск у поверхні Землі р0 = 1 атм.
На максимальній висоті виштовхує сила дорівнює вазі шара- зонда:
Висловивши щільність навколишнього повітря через тиск і температуру, отримаємо
Таким чином, тиск повітря на цій висоті одно
Подивимося тепер, у скільки разів тиск р менше тиску у поверхні Землі р0. .
З умови відомо, що тиск падає в два рази через кожні 5 км підйому, тобто, де Н - висота підйому, a h = 5 км. У нашому випадку
Завдання 5. нерозтяжна оболонка кулі-зонда обсягу V = 75 м 3 має в нижній частині невеликий отвір. Маса оболонки t = 7 кг. Куля наповнений воднем. Визначити, на яку максимальну висоту зможе піднятися цю кулю-зонд, якщо відомо, що атмосферний тиск зменшується в два рази через кожні h = 5 км висоти. Температура повітря в стратосфері t = -60 ° С, температура водню дорівнює температурі навколишнього повітря. Тиск у поверхні Землі р0 = 1 атм.
Ця задача відрізняється від попередньої тим, що оболонка кулі не герметична, а має отвір. Отже, тиск всередині кулі весь час дорівнює тиску в атмосфері, і в міру збільшення висоти підйому кулі водень випливає з отвору. Будемо, вважати, що підйом відбувається досить швидко і можна знехтувати дифузією повітря всередину оболонки, тоді умова рівноваги кулі на максимальній висоті
Щільності водню і повітря можна знайти з рівняння Менделєєва-Клапейрона:
Таким чином, тиск на максимальній висоті
Ставлення, і, отже, висота підйому Н = 20 км (див. Рішення попередньої задачі).
Висота підйому в завданні 5 вийшла така ж, як для герметичного кулі в завданні 4, але не слід забувати, що ми розглядали різні кулі, з різними обсягами і масами. А якщо обидві кулі абсолютно однакові і відрізняються тільки тим, що у одного оболонка герметична, а в іншого має отвір, - яка з куль підніметься вище в цьому випадку?
Виштовхуюча сила буде однакова для обох куль, так як їх обсяги рівні. Якщо початкові маси куль були однакові, то після підйому куля з отвором виявиться легше, так як частина наповнює його газу витече при підйомі. Отже, куля з отвором зможе піднятися на велику висоту.
Зазвичай людині, вперше задумався над цим питанням, такий результат здається дивним. Часто задають питання: «Як взагалі в кулі з отвором виникає підйомна сила? Адже знизу, там, де отвір, повітря і газ всередині кулі знаходяться в рівновазі ».
Давайте розглянемо верхню точку кулі. Якщо в нижній точці кулі тиск повітря і газу одно р0. у верхній точці тиск повітря, а тиск газу (h - висота кулі). Якщо, то і, отже, на оболонку знизу діє велика сила, ніж зверху - виникає підйомна сила. Легко переконатися (ви зможете це зробити самі для тіла досить простої форми), що саме ця різниця тисків і дає результуючу виштовхуючу силу, яка визначається законом Архімеда. Здивування часто виникає тому, що при розрахунках щільності газу всередині кулі зазвичай вважають тиск в кулі всюди однаковим. Не потрібно забувати, що це всього лише наближення. Якщо ми визначаємо саму величину
то, так як h мало - всього кілька метрів, і ми можемо вважати. Якщо ж нас цікавить різниця
то тут обидва члени однакові по порядку величини, і враховувати їх треба обидва. До речі сказати, те, що ми вважаємо ρв і ρг постійними, - теж наближення, насправді вони зменшуються з висотою в міру зменшення тиску. Але облік цієї обставини дав би значно меншу поправку до виштовхує силі, цією поправкою можна знехтувати.
1. Визначити підйомну силу повітряної кулі, в якому знаходиться t г водню. Оболонка кулі герметична і зроблена з легкого непружного матеріалу, який може вільно розтягуватися.
2. На скільки градусів треба нагріти повітря всередині сполучається з атмосферою повітряної кулі, сферична оболонка якого має діаметр 10 м і важить 10 кг, для того щоб куля злетів? Атмосферний тиск 735 мм. рт. ст. температура навколишнього повітря +27 ° С.
3. Повітряна куля являє собою балон постійного обсягу, наповнений гелієм. Через отвір в нижній частині куля повідомляється з атмосферою. Як зміниться максимальна висота підйому кулі, якщо гелій нагріти до температури t1. Температуру атмосфери вважати постійною і рівною t0. а тиск змінюється за законом, де а - постійна, h - висота підйому, р0 - тиск у поверхні Землі.
2. Не менш ніж на 5º.