Його батько був родом з турецького Курдистану, мати - каталанка; серед його далеких предків були вихідці з Сенегалу. За визнанням самого хореографа, це з'єднання національних коренів наклало відбиток на всю його творчість. «Я і сьогодні, - говорив він, - продовжую пишатися своїм африканським походженням. Упевнений, що африканська кров зіграла визначальну роль у момент, коли я почав танцювати ... »
У дитинстві Моріс був болючим, слабким дитиною, і лікар порадив йому заняття спортом, але, почувши від батьків про пристрасному захопленні хлопчика театром, рекомендував класичний танець. У 1941 році Моріс почав навчатися хореографії, а в 1944 році вже дебютував в балетній трупі марсельської Опери. Однак в класичному балеті він не прижився і в 1945 році переїхав до Парижа, де протягом декількох років брав уроки у відомих викладачів, в результаті чого освоїв безліч різних хореографічних шкіл.
Можливо, тоді він і придумав собі сценічний псевдонім «Бежар».
На початку своєї кар'єри Бежар змінив безліч труп: він працював у Ролана Петі і Жанін Шарра в 1948 році, виступав в «Інглсбі інтернешнл балі» в Лондоні в 1949 році і в Королівському шведському балеті в 1950-1952 роках.
Під час занять танцями в Марселі йому доводилося постійно чути про те, що марселец Петіпа став великим хореографом і прославився на весь світ. Коли Бежару виповнився 21 рік і він танцював в англійській трупі в Лондоні, йому довелося багато працювати над класичним репертуаром з Миколою Сергєєвим, протягом чверті століття асистував Петіпа. У Швеції Бежар танцював у трупі «Кульберг-Балеттен», і коли там дізналися, що він володіє хореографією Петіпа, його попросили поставити велику па-де-де з «Лускунчика» для Стокгольмської опери. Це був перший відновлений їм дует, найбільш близький до оригіналу. У Швеції Бежар дебютував як хореограф, поставивши для кінофільму фрагменти балету «Жар-птиця» І. Стравінського.
У 1950 році, в холодній незатишній кімнаті, яку знімав у ту пору перебрався в Париж молодий Бежар, зібралося кілька його друзів. Несподівано для всіх Моріс сказав: «Танець - це мистецтво ХХ століття». Тоді, згадує Бежар, слова ці привели його друзів в суцільний безлад: зруйнована повоєнна Європа ніяк не спонукала до подібних прогнозів. Але він був переконаний, що балетне мистецтво стоїть на порозі нового небаченого злету. І чекати цього залишилося зовсім небагато, як і того успіху, що обрушився на самого Бежара.
У 1953 році Бежар спільно з Ж. Лораном заснував в Парижі трупу «Балі де л'Етуаль», яка проіснувала до 1957 року. У 1957 році він створив трупу «Балі-театр де Парі». У той час Бежар ставив балети і одночасно виступав в них в головних ролях. Його трупа поставила такі балети, як «Сон в літню ніч» на музику Фредеріка Шопена, «Приборкання норовливої» на музику Доменіко Скарлатті, «Красуня в боа» на музику Джакомо Россіні, «Подорож до серця дитини» і «Таїнство» Анрі, « Таніт, або Сутінки богів »,« Прометей »Ована.
Зірковий час балетмейстера пробив в 1959 році. Його трупа «Балі-театр де Парі» виявилася в важкому фінансовому становищі. І в цей момент Бежар отримав від Моріса Юісмана, щойно призначеного директором брюссельського «Театр де ла Монне», пропозиція здійснити постановку «Весни священної» на музику Ігоря Стравінського. Спеціально для неї була сформована трупа. На репетиції відвели всього три тижні. Бежар побачив в музиці Стравінського історію виникнення людської любові - від першого боязкого пориву до скаженого, плотського, тварині полум'я почуттів. Вистава потряс не тільки любителів класичного танцю, але і весь світ.
Успіх «Весни» визначив майбутнє хореографа. На наступний рік Юісман запропонував Бежару створити і очолити постійну балетну трупу в Бельгії. У Франції не знайшлося нікого, хто б надав йому подібні умови роботи. Молодий хореограф переїхав до Бельгії, в Брюссель, тут в 1960 році і з'явився на світ «Балет ХХ століття».
Після «Весни священної» Бежар задумав створення синтетичних вистав, де танець, пантоміма, спів (або слово) займають рівне місце. У такому стилі він поставив в 1961 році балети «Гала» на музику Скарлатті, який йшов в театрі «Венеція», «Четверо синів Еймон» на музику композиторів XV-XVI століть, який він поставив в Брюсселі спільно з Е. Клоссон і Ж. Шара, а також «Муки святого Себастьяна», поставлений в 1988 році за участю сценічного оркестру, хору, вокальних соло і танцю у виконанні артистів балету. Ці експерименти були оцінені критикою і фахівцями дуже високо, і в 1960 і в 1962 роках Моріс Бежар був нагороджений премією Театру Націй, а в 1965 році став лауреатом Фестивалю танцю в Парижі. Тоді ж були створені балети «Бахт» (за індійськими мотивами, 1968), «Жар-птиця» (на музику сюїти з однойменного балету Стравінського, 1970), «Наш Фауст» (на музику Баха і аргентинських танго, 1975).
У 1970 році Бежар заснував в Брюсселі спеціальну школу-студію «Мудра».
У постановках Бежара часто зустрічаються незвичайні для балету персонажі. Те це Мольєр, роль якого виконав сам Бежар; честолюбний молодий чоловік, який приїхав завоювати Париж в спектаклі «Паризьке веселощі» на музику Оффенбаха. Великий успіх мав балет про французького письменника і політичного діяча Андре Мальро. Героїнею іншої вистави стала Евіта Перон, дружина аргентинського диктатора, а в балеті, присвяченому Чарлі Чапліну, грала внучка великого актора Анни Чаплін.
Влітку 1978 року Бежар зі своєю трупою вперше відправився на гастролі в Москву. Його спектаклі викликали шок, а сам Бежар відразу став улюбленим закордонним хореографом. У нього з'явилося навіть по батькові - Іванович. Це був знак особливої російської вдячності, до Бежара подібної честі удостоївся лише Маріус Петіпа.
Протягом багатьох років Бежар працював і з Володимиром Васильєвим, який вперше виконав поставлену Бежаром версію балету І. Стравінського «Петрушка», а разом з Катериною Максимової він виконував головні партії в балеті С. Прокоф'єва «Ромео і Джульєтта».
У 1987 році Моріс Бежар перевів «Балет ХХ століття» в швейцарську Лозанну і змінив назву трупи на «Лозаннський балет Бежара».
Він створив і поставив більше ста балетів, написав п'ять книг. У числі найбільш відомих його робіт: «Бахт,« Жар-птиця »» на музику сюїти з однойменного балету Стравінського, «Наш Фауст», «Ніжинський, клоун Божий» (на музику П'єра Анрі і Чайковського), «Брель і Барбара», присвячений двом великим французьким шансоньє.