Нехай задана система - мірних векторів з простору.
Вектор виду, для деяких чисел називається лінійною комбінацією цих векторів.
Приклад 30. Для тривимірних векторів простору, вектор є лінійною комбінацією векторів і.
Система - векторів називається лінійно незалежною. якщо з того, що, завжди слід
в іншому випадку система називається лінійно залежною.
Лінійну залежність - векторів можна виразити таким чином:
Нехай і вектори є лінійно залежними, тоді, принаймні, одне з чисел (наприклад,) і, Вектор є лінійною комбінацією інших векторів. Таким чином, система
- векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з векторів системи є лінійною комбінацією інших.
Система векторів - мірного простору залежна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, рядки якої є векторами системи менше їх кількості. Якщо ж ранг матриці в точності дорівнює кількості цих векторів, то вони є лінійно незалежними.
Рангом системи-векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів цієї системи.
Приклад 31. У просторі одиничні вектори, і є лінійно незалежними.
Базісом- мірного векторного пространстваназивается будь-яка лінійно - незалежна система векторів, через які можна виразити будь-який вектор простору. Базисів в просторі може бути безліч. Кількість векторів в базисі простору називається його розмірністю.
Теорема 5. базис- мірного пространствасостоіт ізвекторов.
Доведення. Покажемо лінійну незалежність системи векторів
.
Запишемо цю рівність в координатній формі
, звідси, т. е. вектори
Для довільного вектора, очевидно рівність
. Таким чином, вектори утворюють базис простору.
Припустимо, що існує інший базис, простору, де,, ..., і, т. Е. Число векторів якого більше n. Тоді виконується рівність, що рівносильно системі
Число рівнянь системи менше, ніж число невідомих, тому ранг матриці системи обмеженою не може бути більше, ніж n. отже, система векторів лінійно залежна і не може утворювати базис. Теорема доведена.
Якщо в просторі вибраний деякий базис, то для довільного вектора справедливо уявлення
Числа називаються координатами векторав базисі. У різних базисах простору один і той же вектор матиме різні координати.