Визначення. Базисом на площині називаються два будь-яких лінійно незалежних вектора.
З теореми 2 (див. П. 4) випливає, що два будь-яких неколінеарних вектора утворюють базис. Нехай будь-який вектор на площині, а вектори і утворюють базис. Так як на площині всякі три вектори лінійно залежні, то вектор лінійно виражається через вектори базису, т. Е. Виконується співвідношення
.
Якщо вектор представлений у вигляді (3), то говорять, що він розкладений по базису освіченій векторами і. Числа і називають координатами вектора на площині щодо базису і
1. Розпад вектора по і є єдиним
Доведення. Припустимо, що поряд з розкладанням (3) має місце розкладання
Покажемо, що в цьому випадку Дійсно, віднімаючи рівність (4) з рівності (3), отримуємо співвідношення
(Можливість почленного вирахування рівності (4) і (3) і виробленої угруповання членів випливає з властивостей лінійних операцій над векторами (див. П. 2).) Так як вектори базису. лінійно незалежні, то і. Звідси. тобто розкладання вектора по базису. єдино.
Визначення. Базисом в просторі називаються три будь-яких лінійно незалежних вектора.
З теореми 2 (див. П. 5) слід, що три будь-яких некомпланарних вектора утворюють базис. Як і в разі площині, встановлюється, що будь-який вектор розкладається по векторах. і
причому це розкладання єдине.
Числа. . називають координатами вектора в просторі щодо базису. і.
Основне значення базису полягає в тому, що лінійні операції над векторами при завданні базису стають звичайними лінійними операціями над числами - координатами цих векторів.
Теорема. При додаванні двух_векторов і їх координати (щодо будь-якого базісаіілі будь-якого базису, і) складаються. При множенні вектора на будь-яке число, а всі його координати множаться на це число.
Доведення. Нехай, наприклад,
.
Тоді в силу властивостей лінійних операцій (див. П. 2)
В силу єдиності розкладання по базису. . теорема для цього базису доведена.