Біноміальний ряд представляє собою розкладання в ряд Маклорена функції \ (\ right) ^ n> \) і в загальному випадку записується у вигляді
\ (\ Right) ^ n> = \ sum \ limits_ ^ n> n \\ m \ end> \ right)> = 1 + \ left (> n \\ 1 \ end> \ right) x + \ left (> n \\ 2 \ end> \ right) + \ left (> n \\ 3 \ end> \ right) + \ ldots + \ left (> n \\ m \ end> \ right) + \ ldots, \)
де \ (\ left (> n \\ m \ end> \ right) \) - біноміальні коефіцієнти. \ (M \) - ціле число, \ (x \) - дійсна (або комплексна) змінна, \ (n \) - дійсний (або комплексний) показник ступеня.
Біноміальні коефіцієнти виражаються формулою
\ (\ Left (> n \\ m \ end> \ right) = \ large \ frac \ right) \ ldots \ left (\ right) >>> \ normalsize \), де \ (0 \ le m \ le n \).
Біноміальний ряд сходиться при наступних умовах (мається на увазі, що \ (x \) і \ (n \) - дійсні числа):
• \ (- 1 0 \).
Біноміальні коефіцієнти як число поєднань
Коефіцієнти у формулі бінома Ньютона рівні числу невпорядкованих поєднань з n по m елементів:
\ (\ Left (> n \\ m \ end> \ right) = C_n ^ m = \ large \ frac> \ right)! >> \ normalsize = \ large \ frac \ right) \ left (\ right) \ ldots \ left (\ right) >>> \ normalsize. \)
При такому записі біном Ньютона виражається формулою
\ (\ Right) ^ n> = C_n ^ 0 + C_n ^ 1x + C_n ^ 2 + \ ldots + C_n ^> + C_n ^ n = \ sum \ limits_ ^ n>. \)
Деякі часто зустрічаються біноміальні розкладання: