В.Л.БУЛИНІН,
ЦО № 17 ЦАО, м Москва
Згідно шкільній програмі, закони гідростатики вивчаються лише в 7-му класі, повернення до їх вивчення і закріплення в подальшому не передбачено. Проте завдання на гідростатику відносяться до дуже важким і, якщо в старших класах не було вирішено досить подібних завдань, то на вступних іспитах до технічних вузів учень може зіткнутися з дуже серйозними, а то і непереборними труднощами. Пропонована підбірка задач має на меті дати школяреві і викладачеві фізики уявлення про рівень складності матеріалу по цій темі.
Завдання 1 (МГТУ ім. Н. Е. Баумана). Щільність розчину солі з глибиною змінюється за законом = 0 + Ah. де 0 = 1 г / см 3. А = 0,01 г / см 4. У розчин опущені два кульки, пов'язані ниткою такої довжини, що відстань між центрами кульок не може перевищувати L = 5 см. Обсяг кожної кульки V = 1 см 3. маси m1 = 1,2 г і m2 = 1,4 м На якій глибині знаходиться кожен кульку?
В силу симетрії кульок відносно горизонтальної площини, пороходящей через їх центри, сила Архімеда для кожної кульки дорівнює gV. де - щільність рідини на рівні центру кульки. Запишемо умову рівноваги для кожного з кульок і складемо рівняння:
Об'єднуючи все рівняння, знаходимо:
Підставляючи числові дані, отримуємо:
Завдання 2 (МГТУ ім. Н. Е. Баумана). У водоймі укріплена вертикальна труба з поршнем так, що нижній кінець її занурений у воду. Поршень, який лежав спочатку на поверхні води, повільно піднімають на висоту H = 15 м. Яку роботу довелося на це витратити, якщо площа поршня 1 дм 2. атмосферний тиск p0 = 10 5 Па? Масою поршня знехтувати.
Рішення. Сила, яку треба прикладати до поршня, лінійно зростає від 0 до Fmax = p0S. Залежність цієї сили від висоти стовпа піднятої води дорівнює F (h) = ghS. де - щільність води, h - висота стовпа піднятої води, S - площа поршня.
Максимально можлива висота стовпа води, піднятою таким способом, h1 = 10 м, при цьому gh1 = p0. Графік залежності F = F (h) зображений на малюнку. Очевидно, що робота з підйому поршня дорівнює площі трапеції під графіком F (h):
Підставивши числові дані, отримуємо A = 10 4 Дж.
Завдання 3. Крижина площею 1 м 2 і товщиною 0,4 м плаває у воді. Яку мінімальну роботу треба зробити, щоб повністю занурити крижину в воду? Щільність льоду 900 кг / м 3. g = 10 м / с 2.
Рішення. Нехай у вихідному стані h - глибина занурення плаваючою крижини. Запишемо умову рівноваги і слідства з нього:
де в. л - щільності води і льоду відповідно, Vпогр - обсяг зануреної частини крижини, V - її повний обсяг, Н - товщина крижини, h - товщина зануреної частини.
При зануренні крижини сила натиску лінійно зростає від нуля до Fmax. здійснюючи роботу
Завдання 4. Бетонна однорідна паля масою m лежить на дні водойми глибиною h. більшої, ніж довжини палі l. Прив'язавши трос до одного кінця палі, її повільно витягують з води так, що центр ваги палі піднімається на висоту H від поверхні води (H> l). Яка робота здійснюється при підйомі палі? Щільність бетону в n разів більше щільності води. Силами опору знехтувати.
1-й спосіб. Розіб'ємо роботу на три етапи:
Підйом верхнього кінця палі до поверхні води:
- центр ваги піднімається на висоту
- сила натягу троса постійна і дорівнює mg - FA;
- робота (щільність бетону, за умовою, в n разів більше щільності води).
Підйом палі на висоту l - таку, щоб нижній кінець палі стосувався поверхні води:
- сила натягу троса лінійно зростає від mg - FA до mg. і робота цієї сили дорівнює
Нарешті, підйом центра ваги на висоту H над поверхнею води:
- сила натягу троса постійна і дорівнює mg;
- робота (на висоту центр ваги вже було піднято на попередньому етапі).
2-й спосіб. Застосуємо закон збереження енергії. Робота дорівнює зміні енергії системи паля-вода. Потенційна енергія палі зросла на mg (H + h). Потенційна енергія води зменшилася на - вода з верхнього шару водойми опустилася на дно і зайняла обсяг, перш зайнятий палею. Звідси:
Завдання 5 (МГТУ ім. Н. Е. Баумана). У посудині знаходяться три несмешивающиеся рідини густиною (зверху вниз), 2 і 3. Товщина цих шарів Н / 3, H і H відповідно. На дні посудини лежить стрижень з матеріалу щільністю 6, масою m. довжиною H. Яку роботу треба зробити, піднімаючи стрижень за один кінець вертикально, щоб його верхній торець торкнувся поверхні рідини щільністю? Товщиною стержня знехтувати. Тертя відсутня.
Нехай V - об'єм стержня, A1 - робота з підйому стрижня в рідини щільністю 3 у вертикальне положення (підйом центру мас на висоту H / 2):
При переміщенні стержня з рідини щільністю 3 до верхнього рівня рідини щільністю 2 сила лінійно змінюється від при цьому центр ваги стрижня переміщується на висоту H. Отже, робота дорівнює:
A3 - робота з підйому частини стрижня довжиною всередині рідини щільністю 2 (при цьому нижній кінець стрижня і відповідно центр ваги цієї частини стрижня піднімається на):
A4 - робота по переміщенню частини стрижня довжиною з рідини щільністю 2 в рідину густиною:
Повна робота дорівнює:
де - маса стрижня.
Завдання 6. Акселерометр є зігнутою під прямим кутом трубку, заповнену маслом. Трубка розташовується у вертикальній площині, кут При русі трубки в горизонтальному напрямку з прискоренням a рівні масла в колінах трубки відповідно рівні h1 = 8 см і h2 = 12 см. Знайдіть величину прискорення a.
Розглянемо посудину з рідиною (акваріум), який рухається в горизонтальному напрямку з прискоренням a. При такому русі поверхню рідини становить кут з горизонтальною площиною, такою що
Такий же перепад висот має і рідина в трубці акселерометра, що рухається з тим же прискоренням. Отримуємо l = h2 + h1.
тому за умовою, = 45 °.
Завдання 7 (НГУ). Вертикальний циліндричний посудину радіусом R. частково заповнений рідиною, обертається разом з рідиною навколо своєї осі.
До бічної стінки судини на нитки довжиною l прив'язаний повітряна кулька радіусом r; під час обертання нитка утворює зі стінкою кут. Знайдіть кутову швидкість обертання посудини.
Завдання 8 (МГТУ ім. Н. Е. Баумана). Циліндричний посудину з рідиною щільністю обертається з постійною кутовою швидкістю навколо вертикальної осі ОО1. Усередині посудини до осі OO1 в точці A прикріплений тонкий горизонтальний стрижень AB. по якому без тертя може ковзати муфта у вигляді кулі радіусом r. Куля пов'язаний з кінцем A стрижня пружиною жорсткістю k. довжина якої в нерозтягнутому стані дорівнює L0. Визначте відстань до центру кулі від осі обертання, якщо щільність матеріалу кулі в чотири рази менше щільності рідини.
Направимо вісь X у напрямку стрижня AB. а вісь Y по вертикальній осі OO1. За умовою завдання, переміщення кулі можливо лише вздовж стрижня. Так як щільність кулі менше щільності рідини, складова сили Архімеда уздовж осі X більше складовою сили mgефф. і куля буде витіснятися рідиною до осі обертання, стискаючи пружину. Початкове положення центру кулі L0 + r. Нехай під час обертання центр кулі знаходиться на відстані x від осі, при цьому пружина стиснута на величину L0 + r - x. Рівняння руху кулі масою m по колу радіусом x з кутовий швидкістю має вигляд m 2 x = Fц. де сила Fц - результат складання горизонтальної складової сили Архімеда і сили пружності стислої пружини: Fупр = k (L0 + r - x).
Якщо - щільність матеріалу кулі, то
За умовою, В результаті отримуємо відповідь:
Завдання 9 (НГУ). Циліндричний космічний корабель радіусом R обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю. Басейн в кораблі має глибину H. а дном басейну служить бокова стінка корабля. Визначте щільність плаваючою в басейні палички довжиною l Під обертається неінерціальної системи відліку роль сили тяжіння грає відцентрова сила інерції Fц = m 2 r. де r - відстань елементу маси m від осі обертання. Центр мас зануреної частини палички знаходиться від осі обертання на відстані Сила Архімеда, що діє на занурену частина палички довжиною l -, дорівнює FA = ж 2 rц (l -) S. де ж - щільність рідини (води), S - площа поперечного перерізу палички. Центр мас всієї палички знаходиться від осі обертання на відстані Умова плавання палички: P = FA. де P - вага палички. де - щільність палички; Прирівнявши P і FА. знаходимо щільність палички: