У географії нерідко виникають завдання визначення площі об'єкта. Маючи цифрову модель місцевості, хотілося б з її допомогою обчислити, наприклад, площа акваторії водойми. Оскільки цифрова модель місцевості використовує, як правило, географічні координати точок, треба вміти перевести відстані в частинах градуса в кілометри. У той же час, не хотілося б заглиблюватися в геометрію на еліпсоїді щоразу, як тільки виникає найпростіша задача розрахунку площ. Спробуємо вивести деякі закономірності для спрощення розрахунків в подальшому.
Еліпсоїд Красовський - земний еліпсоїд, певний з градусних вимірювань в 1940 році під керівництвом Феодосія Миколайовича Красовський. Розміри: велика піввісь (радіус екватора) 6. 378 245 м, полярне стиснення 1 / 298.3 прийнятий для геодезичних і картографічних робіт в СРСР (з 1946 р) та ін. Чл. РЕВ.
Визначимо полярне стиснення в кілометрах:
що становить . Таким чином, полярний радіус дорівнює
Введемо систему координат з початком в центрі Землі. Площина збігається з екваторіальній площиною, вісь спрямована в екваторіальну точку Гринвічського меридіана, вісь спрямована на Північний полюс. Точки на поверхні Землі мають координати (довгота, широта). Для простоти будемо розглядати тільки I-й октант. Тобто . Числові значення величин для інших октантів будуть збігатися з точністю до знаків, в силу симетричності еліпсоїда.
Формула меридионального перетину Землі
Залежність земного радіуса від широти точки
Розрахуємо, наприклад, зміна радіуса при переході від точки до точки (область інтересів - Каспій):
. що становить . Тому, в більшості випадків, можна вважати радіус в межах області інтересів постійним, розрахувавши його значення в центральній точці області. З цієї ж причини, можна вважати в межах вузьких смуг (близько 10 про широти) поверхню еліпсоїда - поверхнею кулі з радіусом, розрахованим в середній точці смуги. Отже, будемо розраховувати площа бічної поверхні еліптичного шару як кульового шару.
Площа бічної поверхні кульового шару
де - радіус кулі, - товщина шару. У нашому випадку
Залежність товщини шару в один градус від широти
На графіку видно, що в області інтересів товщина шару змінюється досить значно:
Площа прямокутника, розмірами в один градус змінюється майже за тим же законом
Довжина утворює еліпса:
. де - повний еліптичний інтеграл другого роду, ексцентриситет
Розрахуємо довжину еліпса за наближеною формулою:
Як неважко помітити по малюнку, довжина еліптичної дуги однакової градусної міри зменшується при просуванні від велика піввісь до малої. У разі Землі, довжина дуги меридіана в один градус зменшується від екватора до полюса. Довжина дуги с до приблизно дорівнює. Довжина дуги с до приблизно дорівнює. Різниця так невелика, що дозволяє в більшості випадків вважати довжини уздовж меридіана інваріантними щодо руху від широти до широти.
Якщо розділити довжину меридіана (з формули (6)) на 360 градусів, то вийде, що, мабуть, і є найкращим наближенням довжини уздовж меридіана. Якщо ж така точність (менше .33% помилки) виявляється недостатньою, то можна вважати довжину меридіанній дуги як довжину дуги кола з радіусом, рівним радіусу Землі в середній точці дуги (формула (4)). Більш точні, але дуже складні і громіздкі розрахунки, мабуть, доля досліджень, присвячених точності розрахунків на поверхні геоїда.
Залишилося розглянути зміну довжини дуг паралелей при русі від екватора до полюса. Паралелі - суть перетину земної поверхні площиною, паралельної екваторіальній площині. Отже, є колами з радіусом, рівним, в прийнятих нами позначеннях,. Довжина паралелі з широтою дорівнює
Приклади довжин одноградусних дуг паралелей:
При обчисленнях на областях з малим перепадом широт можна вважати поверхню Землі сферою, з радіусом за формулою (4). При сильно витягнутих уздовж меридіана областях необхідно враховувати полярне стиснення Землі і розбивати область на горизонтальні ділянки із застосуванням до кожної ділянки свого значення радіуса Землі.
Нагадаємо, що це вірно лише в припущенні, що Земля тмеет форму еліпсоїда Красовський.
Трохи про метриках на поверхні геоїда
The NASA GSFC and NIMA Joint Geopotential Model
30'x30 'value of the geoid undulations from EGM96 to 360x360. The image is shown on a Robinson projection of the Earth. Geoid undulations from N. Pavlis (RITSS / NASA GSFC), and image courtesy of J. Frawley (NASA GSFC)>
Для систем географічних координат в світі існують кілька стандартів.
WGS-84 - в цій системі задані орбіти супутників, за якими визначають своє місце розташування. Точність навігаційних орбіт, що визначає точність отриманих координат WGS-84 - не вище двох-трьох метрів. Це і є точність реалізації системи WGS-84.
IGS ввела свою систему геоцентричних координат, на основі рекомендацій Міжнародної служби обертання Землі (www.iers.org). Ця система називається ITRF і задається координатами деякого набору пунктів (близько 50), з числа найбільш стабільних і довгострокових станцій IGS, розташованих, до того ж, далеко від кордонів тектонічних плит. Цю систему можна вважати спадкоємицею WGS-84 для досягнутого нині рівня точності.
Обидві системи мають початок в центрі мас Землі і задаються на одному і тому ж еліпсоїді. Крім координат, в ITRF задані річні швидкості зсувів, які теж згодом уточнюються. За ним можна легко перерахувати координати на потрібну епоху.
У нас є і своя загальземного система координат, альтернатива WGS-84, яка використовується в ГЛОНАСС. Вона називається ПЗ-90, розроблена нашими військовими, і крім них, за великим рахунком, нікому не цікава, хоча і зведена в ранг державної.
Наша державна система координат - «Система координат 1942 г.», або СК-42, (як і прийшла їй недавно на зміну СК-95) відрізняється тим, що, по-перше, заснована на еліпсоїді Красовського, трохи більшому за розмірами, ніж еліпсоїд WGS-84, і по-друге, «наш» еліпсоїд зрушать (приблизно на 150 м) і злегка розгорнуто щодо «загальземного». Все тому, що наша геодезична мережа покрила шосту частину суші ще до появи будь-яких супутників. Ці відмінності призводять до похибки GPS на наших картах близько 180 м. Після обліку параметрів переходу, ці похибки усуваються, для «навігаційної» точності. Але, на жаль, не для геодезичної: точних єдиних параметрів зв'язку координат не існує, і виною тому - локальні неузгодженості всередині державної мережі. Геодезистам доводиться для кожного окремого району самим шукати параметри трансформування в місцеву систему.