Фрагмент тексту роботи
§ 25. Центральна гранична теорема.
Теорема. (Ц.П.Т.). Нехай Х1, Х2, ... -послідовність незалежних випадкових величин, що мають один і той же закон розподілу і кінцеве математичне очікування а й дисперсію G 2. Тоді при ймовірність того, що, де.
N (x) -функція стандартного нормального розподілу.
Зауваження 1. Центральна гранична теорема доводить той факт, що нормальний розподіл зустрічається в природі частіше за інших.
Зауваження 2. При великих, тому. ЦПТ можна записати в іншій формі:.
§ 26. Функція надійності. Показовий закон надійності.
Характеристичне властивість показового закону надійності.
o Будемо називати елементом деякий пристрій, незалежно від того, «просте» воно чи «складне».
Нехай елемент починає працювати в момент часу t0 = 0, а після закінчення тимчасового інтервалу тривалості t відбувається його відмова. Позначимо через Т безперервну випадкову величину-тривалість часу безвідмовної роботи елемента. Якщо елемент пропрацював безвідмовно (до настання відмови) час, менше t, то, отже, за інтервал часу тривалості t настане відмова.
Таким чином, функція розподілу визначає ймовірність відмови елемента за інтервал часу тривалості t. Отже, ймовірність безвідмовної роботи за цей же інтервал часу тривалості t, тобто ймовірність протилежної події T> t дорівнює (1).
o Функцією надежностіR (t) називають функцію, що визначає ймовірність безвідмовної роботи елемента за інтервал часу тривалості t:.
Часто тривалість часу безвідмовної роботи елемента має показовий розподіл, функція розподілу якого, де t> 0.
Отже, в силу (1) функція надійності в разі показового розподілу часу безвідмовної роботи елемента має вигляд:.
o Показовим законом надійності називають функцію
(2). де λ-інтенсивність відмов.
Формула (2) дозволяє знайти ймовірність безвідмовної роботи елемента на інтервалі часу тривалості t, якщо час безвідмовної роботи має показовий розподіл.
Приклад. Час безвідмовної роботи елемента розподілено по показовому закону з інтенсивністю λ = 0,02. Знайти ймовірність того, що елемент пропрацює безвідмовно 100год.
.
Показовий закон надійності дуже простий і зручний для вирішення завдань, що виникають на практиці. Дуже багато формули теорії надійності значно спрощуються. Пояснюється це тим, що цей закон має наступну важливу властивість: ймовірність безвідмовної роботи елемента на інтервалі часу тривалості t не залежить від часу попередньої роботи до початку розглянутого інтервалу, а залежить від тривалості інтервалу часу t (при заданій інтенсивності відмов λ).
Введемо позначення подій:
.
.
Отримана формула не містить t0. а містить тільки t.
Таким чином, умовна ймовірність безвідмовної роботи елемента в припущенні, що елемент пропрацював безвідмовно на попередньому інтервалі, дорівнює безумовній ймовірності.
Таким чином, в разі показового закону надійності безвідмовна робота елемента «в минулому» не позначається на величині ймовірності його безвідмовної роботи «в найближчому майбутньому».
Зауваження. Можна довести, що розглядаються властивістю володіє тільки показовий розподіл. Тому, якщо на практиці досліджувана випадкова величина цим властивістю володіє, то вона розподілена по показовому закону. Наприклад, при допущенні, що метеорити розподілені рівномірно в просторі і в часі, ймовірність попадання метеорита в космічний корабель не залежить від того, потрапляли або не потрапляли метеорити в корабель до початку розглянутого інтервалу часу. Отже, випадкові моменти часу потрапляння метеоритів в космічний корабель розподілені по показовому закону.
§ 27. Випадкові функції.
o Випадкової функцією називається функція X (t), значення якої при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.
Іншими словами, випадковою функцією називається функція, яка в результаті досвіду може прийняти той чи інший конкретний вид, при цьому заздалегідь не відомо, який саме.
o Конкретний вид, прийнятий випадковою величиною в результаті досвіду, називається реалізацією випадкової функції.
На малюнку зображено кілька реалізацій деякого випадкового процесу.
Якщо зафіксувати значення аргументу t, то випадкова функція X (t) перетвориться в випадкову величину, яку називають перетином випадкової функції. відповідним моменту часу t. Будемо вважати розподіл перетину безперервним. Тоді Х (t) при даному t визначається щільністю розподілу p (x; t).
Очевидно, p (x; t) не є вичерпною характеристикою випадкової функції X (t), оскільки вона не виражає залежності між перетинами X (t) в різні моменти часу t. Більш повну характеристику дає функція -спільне щільність розподілу системи випадкових величин, де t1 і t2 -довільний значення аргументу t випадкової функції. Ще більш повну характеристику випадкової функції X (t) дасть сумісна щільність розподілу системи трьох випадкових величин і т.д.