Бінарне відношення називається предпорядка на. якщо воно рефлексивно і транзитивне. Рефлексивне, транзитивне і антисиметричне відношення на безлічі називається частковим порядком на. Частковий порядок часто позначається символом £.
Будемо писати якщо х £ у і ¹ у. Частковий порядок £ на безлічі називається лінійним. якщо для будь-яких елементів і у з або £ у або у £. Безліч із заданим на ньому частковим порядком (лінійним) називається частково (лінійно) впорядкованим. Прикладами нескінченних лінійно впорядкованих множин є. Q. R щодо "природного порядку". Важливо зауважити, що один і той же безліч можна впорядкувати різними способами. Наприклад, натуральні числа можна впорядкувати "природним чином", а можна впорядкувати по зростанню окремо всі непарні числа і окремо всі парні, вважаючи непарне число попереднім всякому парним.
Прикладом частково, але не лінійно впорядкованої множини може служити безліч всіх пар натуральних чисел 2 з наступним порядком: (<у> £ <>) Û (£. У £). Прикладом частково впорядкованої множини є множина всіх підмножин даної множини X. впорядковане по включенню £ ¢, якщо Í . де
Елемент a частково впорядкованої множини називається максимальним. якщо а £ Û a =. і мінімальним. якщо £ a Û a = Елемент a з називається найбільшим елементом. якщо "х Î . £ а, і найменшим. якщо " Î . а £. Всякий найбільший елемент є максимальним, а всякий найменший елемент - мінімальним. Зворотне, взагалі кажучи, місця не має. Наприклад, в тривіальному частково впорядкованій множині (тобто в якому a £ b Û a = b) будь-який елемент є як максимальним, так і мінімальним, але не найбільшим і, відповідно, такою ж. Верхньої (нижньої) гранню підмножини частково впорядкованої множини називається будь-який елемент a з такою, що b £ a (a £ b) для будь-якого b Î . Точної верхній (нижній) гранню підмножини Í називається найменша верхня (найбільша нижня) грань. Точна верхня грань безлічі позначається (супремум), а точна нижня грань - (інфімум). Лінійний порядок на безлічі називається повним. якщо кожне непорожнє підмножина безлічі має найменший елемент. У цьому випадку безліч називається цілком упорядкованим.
Нехай і - частково впорядковані множини і f - функція з в. Якщо "x1. X2 Î . x1 £ x2 => f (x1) £ f (x2), то функція називається монотонної. Якщо f - взаємно однозначне відповідність між і і f і f -1 монотонні, то f називається изоморфизмом частково впорядкованих множин та. а безлічі і називаються ізоморфними.