Якщо на вхід лінійної безперервної системи (або окремої ланки) подати синусоїдальні (гармонійні) коливання з постійними амплітудою і частотою. то після загасання перехідних процесів на виході також виникають синусоїдальні коливання тієї ж частоти, але іншого амплітуди і зсунуті по фазі щодо вхідних коливань.
Таким чином, при подачі на вхід системи гармонійних коливань з постійною амплітудою, але c різними частотами на виході системи виходять також гармонійні коливання з тими ж частотами, але різними амплітудами і фазами щодо вхідних коливань.
Відомо, що для оригіналу (а саме такими є в САУ вхідні і вихідні сигнали) має місце одностороннє перетворення Фур'є [2, 3], відповідно до якого спектральна функція може бути розрахована за формулою
де - кутова частота.
Порівнюючи формулу (2.10) з формулою прямого перетворення Лапласа. легко бачити їх ідентичність, тому для переходу з області зображень в частотну область досить чисто формально в зображеннях і замінити оператор Лапласа на змінну (оператор Фур'є).
Оскільки. то в результаті такої заміни отримаємо
Функція комплексної змінної називається частотної передавальної функцією (в літературі її також часто називають комплексним коефіцієнтом передачі). Вона виходить шляхом чисто формальної заміни в вираженні передавальної функції оператора Лапласа на змінну.
Годограф функції. тобто крива, описувана кінцем вектора на комплексній площині при зміні частоти від нуля до нескінченності (рис. 2.8), називається амплітудно-фазової частотної характеристикою (АФЧХ).
Мал. 2.8 - Годограф АФЧХ і інші частотні
Як і будь-яку функцію комплексної змінної, функцію можна представити в алгебраїчної і показовою формах запису, тобто
де і - дійсна і уявна частини частотної передавальної функції, і - модуль і аргумент частотної передавальної функції.
Всі величини, представлені в (2.12), є відповідними частотними функціями, а побудовані за виразами для функцій графіки - частотними характеристиками.
Залежності і називаються і уявною частотними характеристиками відповідно.
Залежність показує відношення амплітуд вихідного і вхідного гармонійних сигналів при зміні частоти і називається амплітудною частотною характеристикою.
Залежність показує зрушення фази вихідного гармонійного сигналу щодо вхідного при зміні частоти і називається фазовою частотною характеристикою.
Між усіма частотними характеристиками існує безпосередній зв'язок, що випливає з тригонометричних співвідношень і пояснює рис. 2.8.
У практичних розрахунках найчастіше амплитудную і фазову частотні характеристики зображують в логарифмічному масштабі, що дозволяє в значній мірі скоротити обсяг обчислювальних робіт.
Логарифмічною одиницею посилення або ослаблення потужності сигналу при проходженні його через будь-який пристрій при вираженні десятковим логарифмом величини відношення потужності на виході до потужності на вході в техніці прийнято бел (Б). Так як потужність сигналу пропорційна квадрату його амплітуди, отримаємо:
Але так як бел є досить великою одиницею посилення (ослаблення) потужності (збільшення потужності в 10 разів відповідає 1 Б), то за одиницю виміру її прийнято децибел, 1дБ = 0,1 Б.
З урахуванням цього можна записати:
Величина логарифма амплітудної частотної характеристики, виражена в децибелах
називається логарифмічною амплітудно-частотної характеристикою (ЛАЧХ).
Таким чином, зміни ставлення двох амплітуд в 10 разів відповідає зміна посилення на 20 дБ, в 100 разів - на 40 дБ, в 1000 разів - на 60 дБ і т.д.
Обчислимо, якого відношенню амплітуд відповідає один децибел, два і т.д.
Фазова частотна характеристика. побудована в напівлогарифмічному масштабі (в координатах: кут j в градусах або радіанах і), називається логарифмічною фазовою частотною характеристикою (ЛФЧХ).
Одиницею вимірювання частоти є логарифмічна одиниця - декада. Декадою називається інтервал частот між будь-якої величиною частоти і її десятикратним значенням.
У логарифмічному масштабі частот відрізок в одну декаду не залежить від частоти і має довжину, рівну
ЛАЧХ і ЛФЧХ будують зазвичай спільно, використовуючи загальну вісь абсцис (вісь частот). Початок координат неможливо взяти в точці. так як . Тому початок координат можна брати в будь-якій зручній точці в залежності від даного діапазону частот.
Точка перетину ЛАЧХ з віссю абсцис називається частотою зрізу. Вісь абсцис відповідає значенню. тобто проходженню амплітуди сигналу в натуральну величину (тому ще кажуть, що на частоті зрізу система втрачає підсилювальні властивості).
З розглянутих тут частотних характеристик дві можна отримати експериментально - амплитудную і фазову. З цих двох експериментальних інші частотні характеристики можуть бути розраховані за відповідними формулами, наприклад - за формулою (2.12). Крім того, розрахувавши за експериментальними даними. по (2.11) шляхом зворотного підстановки (замінивши на) можна отримати передавальну функцію. Знаючи передавальну функцію, можна записати диференціальне рівняння в операторної формі і далі, застосувавши зворотне перетворення Лапласа, - диференціальне рівняння (рівняння динаміки системи).