При відносному зміні правій частині, відносна помилка може скласти.
Якщо q = 0. то cond (A) = + ∞, тобто матриця неповного рангу (вироджена). Чим більше cond (A). тим ближче матриця A до неповного рангу (до вирожденність). Чим ближче матриця до одиничної матриці, тим більше cond (A) близька до 1 і. отже, матриця далека від неповного рангу (далека від вирожденність).
Властивості числа обумовленості матриці:
- cond (A)> = 1 (тому що Q> = q).
- cond (P) = 1, де P матриця перестановок або одинична матриця.
- cond (λA) = cond (A). де λ скаляр.
- , де D діагональна матриця.
Властивості 3 і 4 показують, що cond (A) є найкращим критерієм оцінки вирожденність квадратних матриць, ніж визначник. Дійсно, якщо взяти в якості матриці A квадратну діагональну матрицю 100 × 100 з елементами 0.1 на головній діагоналі, то det (A) = (0.1) 100 = 10 -100. що дуже мале число і показує близькість до вирожденність в той час, як рядки і стовпці матриці ортогональні і, в дійсності матриця далека від вирожденність. Якщо ж застосовувати cond, то отримаємо cond (A) = 1.
Наступний приклад ілюструє поняття числа обумовленості матриці. Розглянемо систему лінійних рівнянь (1), де
Тоді рішенням системи лінійних рівнянь буде. Якщо ж праву замінити на, рішенням системи буде. Позначимо δb = b-b1 і δx = x-x1. тоді