Розглянемо граф, де - безліч ребер, таких, що на відповідних місцях вектора стоять одиниці, а.
В силу визначення узагальненого циклу:.
Покажемо по індукції, що можна декомпозировать на кілька реберно непересічних простих циклів. Ведемо індукцію по числу ребер. База індукції очевидно виконується. Розглянемо. існує цикл, додамо його в декомпозицію, видалимо ребра, що належать йому. В силу того, що парність ступенів вершин не змінилася, за припущенням індукції декомпозіруем залишився граф.
Звідси випливає, що кожному узагальненому циклу відповідають ребра, які утворюють набір реберно непересічних простих циклів.
Якщо розглянути набір реберно непересічних простих циклів деякого графа і взяти все ребра, що належать цим циклам, то їм можна зіставити узагальнений цикл, поставивши в відповідні місця, в усі інші.
Якщо - узагальнений цикл, відповідний простому циклу графа, то
Нехай - узагальнений цикл з умови, а - відповідний йому простий цикл.
Тоді, де - стовпець у матриці інцидентності графа, відповідний ребру. Так як кожна вершина в має ступінь, то для будь-якого вірно, а значить. Таким чином .
В силу лінійності оператора і того, що простий цикл, отримуємо що
, де - максимальна кількість ЛНЗ стовпців. Якщо розглянути простий цикл в, то сума стовпців відповідних цим ребрах дорівнює, т. К. Значення оператора на відповідному узагальненому циклі в точності дорівнює сумі цих стовпців. Значить, ці стовпці ЛЗ. Звідси випливає, що якщо будь-якого безлічі ребер, що містять цикл, у відповідність зіставити набір стовпців з, то він буде ЛЗ
Якщо підмножина ребер з не містить цикл, то набір відповідних стовпців з ЛНЗ.
Нехай він ЛЗ, значить існує рівна нулю лінійна комбінація стовпців, де не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Візьмемо стовпці, коефіцієнти при яких не нульові, тоді їх лінійна комбінація утворює, а значить відповідні стовпцях ребра розбиваються на прості цикли і вихідна безліч ребер містило цикл. Протиріччя.
Максимальне число ребер, які ми можемо виділити з G і які не містять цикл одно (в кожній компоненті зв'язності виділимо кістяк).
[Ред] Застосування
Циклічне простір графа дозволяє довести деякі теореми з теорії графів, а також описати умови існування окремих підвидів графа. Зокрема, завдяки введеному поняттю, можна довести необхідна і достатня умова планарності графа [1].