б) Одне з важливих додатків жорданової форми - обчислення функцій від матриць (поки ми знайомі лише з поліноміальними функціями). Нехай, скажімо, нам потрібно знати більшу ступінь A N матриці A. Так як ступінь жорданової матриці обчислити легко (п. 13), економний спосіб може полягати у використанні формули A N = XJ N X-1. де A = XJX -1. справа в тому, що матриця X обчислюється раз назавжди і не залежить від N. Цю ж формулу можна використовувати для оцінки зростання елементів матриці A N.
в) У термінах жорданової форми легко обчислити мінімальний многочлен матриці A. Справді, обмежимося для простоти випадком поля нульової характеристики. Тоді мінімальний многочлен дорівнює, мінімальний многочлен блокової матриці дорівнює, нарешті, мінімальний многочлен загальної жорданової матриці з діагональними елементами (при) дорівнює, де rj - найбільший розмір жорданової клітини, що відповідає.
10. Інші нормальні форми. У цьому пункті коротко опишемо інші нормальні форми матриць, придатні, зокрема, для алгебраїчно незамкнутих полів.
а) Циклічні простору і циклічні клітини. Простір L називається циклічним щодо оператора f. якщо в L існує такий вектор l. також званий циклічним, що вектори l. f (l). f n-1 (l) утворюють базис L. Вважаючи ei = f n-i (l), i = 1. n = dim L. маємо
де однозначно визначаються зі співвідношення. Матриця оператора f в такому базисі називається циклічною кліткою. Навпаки, якщо матриця оператора f в базисі (e1. En) є циклічною кліткою, то вектор l = en циклічний, і ei = f n-i (en) (індукція вниз по i).
Лінійна алгебра і геометрія
математичні формули, он-лайн довідник