Завдання для студентів на практичне №2 по темі
Мета заняття. Навчитися вирішувати приклади і завдання по даній темі
Питання теорії (вихідний рівень)
1. Застосування похідних для дослідження функцій на екстремум.
2. Диференціал функції, його геометричний і фізичний зміст.
3. Повний диференціал функції багатьох змінних.
4. Стан організму як функція багатьох змінних.
5. Наближені обчислення.
6. Знаходження приватних похідних і повного диференціала.
7. Приклади використання зазначених понять в фармако-кінетику, мікробіології та ін.
1.ответіть на питання по темі заняття
Знайти диференціали наступних функцій:
Застосування похідних для дослідження функцій
Умова зростання функції y = f (x) на відрізку [а, b]
Умова спадання функції y = f (x) на відрізку [а, b]
Умова максимуму функції y = f (x) при x = а
Якщо при х = а похідні f '(а) = 0 і f "(а) = 0, то необхід-мо дослідити f' (x) в околицях точки x = а. Функція у = f (х) при х = а має максимум, якщо при переході через точку х = а похідна f '(x) змінює знак з «+» на «-», в разі мінімуму - з «-» на «+» якщо f' (x) не змінює знака при переході через точку х = а, то в цій точці у функ-ції екстремуму немає
Диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту:
Диференціал функції y = f (x)
Диференціал суми (різниці) двох функцій y = u ± v
Диференціал твори двох функцій у = uv
Диференціал приватного двох функцій y = u / v
Δy = f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f '(x) • Δx
де Δx: - приріст аргументу.
Наближене обчислення значення функції:
f (x + Δx) ≈ f (x) + f '(x) • Δx
Прімененіедіфференціала в наближених обчисленнях
Диференціал застосовується для обчислення абсолютної і відно-вальну похибок при непрямих вимірах u = f (x, у, z.). Абсолютна похибка результату вимірювання
Відносна похибка результату вимірювання
Диференціал функції як головна частина приросту функції. З поняттям похідної тісно пов'язане поняття диференціала функції. Нехай функція f (x) неперервна при даних значеннях х і має похідну
Визначимо порядок нескінченно малої a (D х) D х по відношенню до нескінченно малої D х:
Отже, нескінченно мала a (D х) D х має вищий порядок малості в порівнянні з нескінченно малої D х. тобто a (D х) D х = про [D х].
Таким чином, нескінченно малий приріст Df диференціюється може бути представлено у вигляді двох доданків: нескінченно малої f ¢ (x) Dx однакового порядку малості з D х і нескінченно малої a (D х) D х більш високого порядку малості в порівнянні з нескінченно малої D х. Це означає, що в рівність Df = f ¢ (x) Dx + a (Dx) Dx при Dх® 0 другий доданок прямує до нуля «швидше», ніж перше, тобто a (D х) D х = про [f ¢ (x ) Dx].
Перший доданок f ¢ (x) Dx, лінійне щодо D х. називають диференціалом функцііf (x) в точці х і позначають dy або df (читається «де ігрек» або «де еф»). Отже,
Аналітичний сенс диференціала полягає в тому, що диференціал функції є головна частина приросту функції Df. лінійна щодо збільшення аргументу Dx. Диференціал функції відрізняється від приросту функції на нескінченно малу вищого порядку малості, ніж Dx. Дійсно, Df = f ¢ (x) Dx + a (Dx) Dx або Df = df + a (Dx) Dx.Діфференціал аргументаdx дорівнює його пріращеніюDx: dx = Dx.
Приклад. Обчислити значення диференціала функції f (x) = x 3 + 2x, коли х змінюється від 1 до 1,1.
Рішення. Знайдемо загальний вираз для диференціала цієї функції:
Підставляючи значення dx = Dx = 1,1-1 = 0,1 і x = 1 в останню формулу, отримаємо шукане значення диференціала: df ½x = 1; = 0,5.
ПРИВАТНІ похідні і диференціалом.
Приватні похідні першого порядку. Приватної похідною першого порядкафункцііz = f (x, y) по аргументу х в даній точці (х; у) називається межа
якщо він існує.
Приватна похідна функції z = f (x, y) по аргументу х позначається одним з таких символів:
Аналогічно приватна похідна по у позначається і визначається формулою:
Так як приватна похідна - це звичайна похідна функції одного аргументу, то її неважко обчислити. Для цього потрібно користуватися всіма розглянутими досі правилами диференціювання, враховуючи в кожному випадку, який з аргументів приймається за «постійне число», а який служить «змінної диференціювання».
Зауваження. Для знаходження похідної, наприклад по аргументу х -df / dx. досить знайти звичайну похідну функції f (x, y), вважаючи останню функцією одного аргументу х. а у - постійної; для знаходження df / dy - навпаки.
Приклад. Знайти значення приватних похідних від функції f (x, y) = 2x 2 + y 2 в точці Р (1; 2).
Рішення. Вважаючи f (x, y) функцією одного аргументу х і користуючись правилами диференціювання, знаходимо
У точці Р (1; 2) значення похідної
Вважаючи f (x; y) функцією одного аргументу у, знаходимо
У точці Р (1; 2) значення похідної
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТА:
Знайдіть диференціали наступних функцій:
Вирішити такі завдання:
1. На скільки зменшиться площа квадрата зі стороною х = 10см, якщо сторону зменшити на 0,01 см?
2. Дано рівняння руху тіла: y = t 3/2 + 2t 2. де s - виражено в метрах, t-у секундах. Знайти шлях s, пройдений тілом за t = 1,92 с від початку руху.
1. Лобоцького Н.Л. Основи вищої математики - М. «Вишейшая школа», 1978.C198-226.
2. Бейлі Н. Математика в біології та медицині. Пер. з англ. М. «Мир», 1970.
3. Ремізов А.Н. Ісакова Н.Х. Максін Л.Г. Збірник завдань з медичної та біологічної фізики - М. «Вища школа», 1987. С16-20.