Функція y = f (x) називається диференційованою в деякій точці x0. якщо вона має в цій точці певну похідну, тобто якщо межа відносини існує і кінцевий.
Якщо функція диференційовна в кожній точці деякого відрізка [а; b] або інтервалу (а; b), то говорять, що вона диференційована на відрізку [а; b] або відповідно в інтервалі (а; b).
Справедлива наступна теорема, що встановлює зв'язок між диференційованими і безперервними функціями.
Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційована в деякій точці x0. то вона в цій точці неперервна.
Таким чином, з дифференцируемости функції слід її безперервність.
Доведення. Якщо то
де α нескінченно мала величина, тобто величина, яка прагне до нуля при Δx → 0. Але тоді
Таким чином, в точках розриву функція не може мати похідної. Протилежне твердження невірно: існують безперервні функції, які в деяких точках не є диференційованими (тобто не мають в цих точках похідною).
Розглянемо на малюнку точки а, b, c.
У точці a при Δx → 0 відношення не має меж (тому що односторонні межі різні при Δx → 0-0 і Δx → 0 + 0). У точці A графіка немає певної дотичній, але є дві різні односторонні дотичні з кутовими коефіцієнтами к1 і к2. Такий тип точок називають кутовими точками.
У точці b при Δx → 0 відношення є знакопостоянного нескінченно великою величиною. Функція має нескінченну похідну. У цій точці графік має вертикальну дотичну. Тип точки - "точка перегину" cвертікальной дотичній.
У точці c односторонні похідні є нескінченно великими величинами різних знаків. У цій точці графік має дві слівшіесявертікальние дотичні. Тип - "точка повернення" з вертикальної дотичній - окремий випадок кутовий точки.
- Розглянемо функцію y = | x | .Ця функція неперервна в точці x = 0, тому що .
Покажемо, що вона не має похідної в цій точці.
Але тоді при Δx <0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)
Т.ч. відношення при Δx → 0 праворуч і ліворуч має різні межі, а це значить, що відношення границі не має, тобто похідна функції y = | x | в точці x = 0 не існує. Геометрично це означає, що в точці x = 0 дана "крива" не має певної дотичній (в цій точці їх дві).
Отже, розглянута функції не диференційована в точці x = 0. Дотична до кривої в цій точці утворює з віссю абсцис кут p / 2, тобто збігається з віссю Oy.