Динамічні ланки та їх характеристики [1].
Для розрахунку різних систем автоматичного управління вони розбиваються на динамічні ланки. Динамічне ланка це пристрої будь-якого фізичного вигляду, що описується певним диференціальним рівнянням. Класифікація ланок проводиться за видом диференціального рівняння.
Тут - відношення зображень по Лапласа - передавальна функція.
Позиційні динамічні ланки.
, .
Апериодическое ланка 1-го порядку:
, .
Апериодическое ланка 2-го порядку:
(),,
.
(),.
, .
Інтегрують динамічні ланки.
Ідеальна інтегруюча ланка:
(),.
Інтегруюча ланка з уповільненням
, .
, .
Диференціюючі динамічні ланки.
Ідеальне дифференцирующее ланка:
, .
Дифференцирующее ланка з уповільненням:
, .
Тимчасові характеристики динамічних ланок [1].
Динамічні властивості ланки визначаються по його перехідній функції та функції ваги. Функція ваги - реакція системи на дельта-функцію.
Перехідна ж функція ланки на його виході є результатом дії ступінчастої функції на її вході (при). Функція ваги є похідною за часом від перехідної функції:. Доведення.
На вході - імпульс з площею. Інакше він може бути представлений двома східчастими функціями. На виході:
.
Спрямуємо N до нескінченності, одночасно зменшуючи його ширину так, щоб площа імпульсу залишалася рівною одиниці, тобто . отримаємо:
.
Нагадаємо, що функція ваги ланки пов'язана з його функцією передачі перетворенням Лапласа - передавальна функція є зображення функції ваги:
.
У свою чергу, перехідна функція ланки пов'язана з його функцією передачі перетворенням Карстоном:
.
Для вхідного впливу довільного виду, перехідний процес на виході ланки при нульових початкових умовах може бути визначений за допомогою інтеграла Дюамеля-Карстоном по перехідній функції:
.
або по функції ваги:
.
Амплітудно-фазова частотна характеристика.
Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФХ) будується на комплексній площині. Вона являє собою геометричне місце кінців векторів (годограф), відповідних частотної передавальної функції
при зміні частоти від нуля до нескінченності.
АФХ будується як для позитивних, так і для негативних частот. Остання виходить заміною в частотної передавальної функції на (виходить комплексно зв'язана величина). Тобто це дзеркальне зображення АФХ для позитивних частот щодо дійсної осі.
Сенс негативних частот.
Перетворення Фур'є (отримується з перетворення Лапласа підстановкою):
.
Зворотне перетворення Фур'є:
- нескінченна сума нескінченно малих за величиною векторів, що обертаються на комплексній площині з різними кутовими швидкостями (частотами).
Так як функція часу є речовій, то кожному елементарному вектору, що обертається проти годинникової стрілки (), повинен відповідати елементарний зв'язаний вектор, що обертається за годинниковою стрілкою (). В цьому випадку сума таких векторів буде завжди речової. В принципі можна обмежитися розглядом тільки позитивних частот (питання зручності).
Модуль частотної передавальної функції - парна функція частоти, фаза - непарна функція частоти. Також - парна функція частоти, а - непарна.
Амплітудно-фазова частотна характеристика і функція ваги [2].
.
.
Але функція ваги - дійсна функція. отже:
.
Для фізично можливих систем при. Заміна в останньому виразі дає:
.
Складанням і відніманням отримаємо ():
, .
Таким чином, фізично можлива стаціонарна лінійна система повністю визначається однією дійсною (або однієї уявної) частиною частотної характеристики.
Мінімально-фазові ланки і системи [1].
Якщо коріння чисельника і знаменника передавальної функції лежать в лівій півплощині, то така ланка називається мінімально-фазовим. Для мінімально-фазових ланок мають місце такі співвідношення (без доведення):
, , .
Тут,. Таким чином, частотна передаточна функція мінімально-фазового ланки повністю визначається її речовій або уявною частиною, або модулем передавальної функції.
Логарифмічні частотні характеристики.
На практиці зазвичай користуються десятковими логарифмами і будують окремо логарифмічну амплітудну частотну характеристику (ЛАХ) і логарифмічну фазову частотну характеристику (ЛФХ).
Ця величина виражається в децибелах (дБ). Один Бел відповідає збільшенню потужності в 10 разів. Так як - стосується не потужностей, а напружень (струмів, переміщень і т.п.), то збільшення цього відношення в 10 разів буде відповідати збільшенню відносини потужностей в 100 разів, що відповідає двом Белам або 20 децибелам. Один децибел дорівнює.