Лекція 1. Динаміка точки.
У даній лекції розглядаються наступні питання:
- Динаміка точки.
- Основні поняття і визначення.
- Закони динаміки.
- Задачі динаміки для вільної і невільної матеріальної точки.
- Диференціальні рівняння руху точи.
- План вирішення другого завдання руху.
- Рух точки, кинутої під кутом до горизонту в однорідному полі тяжіння.
- Загальні теореми динаміки точки.
- Кількість руху і кінетична енергія точки.
- Імпульс сили.
- Теорема про зміну кількості руху точки.
Вивчення даних питань необхідно для динаміки руху центру мас механічної системи, динаміки обертального руху твердого тіла, кінетичного моменту механічної системи, для вирішення завдань в дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».
Динаміка точки. Основні поняття і визначення.
Динамікою називається розділ механіки, в якому вивчаються закони руху матеріальних тіл під дією сил.
Рух тіл з чисто геометричної точки зору було изуче-но в кінематиці. В динаміці, на відміну від кінематики, при изуче-ванні руху тіл беруть до уваги, як діючі сили, так і інертність самих матеріальних тел.
Поняття про силу, як про величину, що характеризує міру механи-чеського взаємодії матеріальних тіл, було введено в статиці. Але при цьому в статиці ми, по суті, вважали всі сили постійного-ними. Тим часом, на рухоме тіло поряд з постійного-ними силами (постійної, наприклад, можна вважати силу тяжіння) діють зазвичай сили змінні, модулі та напрямки яких при русі тіла змінюються.
Як показує досвід, змінні сили можуть певним об-разом залежати від часу, від положення тіла і від його швидкості. Зокрема, від часу залежить сила тяги електровоза при пості-пінному виключенні або включенні реостата; від положення тіла залежить сила пружності пружини; від швидкості руху залежать сили опору-тивления середовища (води, повітря).
До поняття про інертність тіл ми приходимо, порівнюючи результати дії однієї і тієї ж сили на різні матеріальні тіла. Досвід показує, що якщо одну і ту ж силу прикласти до двох різних, вільним від інших впливів спочиваючим тіл, то в загальному випадку після закінчення одного і того ж проміжку часу ці тіла пройдуть різні відстані і матимуть різні швидкості.
Інертність і являє собою властивість матеріальних тіл швидше або повільніше змінювати швидкість свого руху під дією прикладених сил. Якщо, наприклад, при дії одина-кових сил зміна швидкості першого тіла відбувається повільніше, ніж другого, то кажуть, що перше тіло є більш інертним, і навпаки.
Кількісною мірою інертності даного тіла є фі-зичних величина, яка називається масою тіла. У механіці маса т розглядається як величина скалярна, позитивна і постійна для кожного даного тіла.
У загальному випадку рух тіла залежить не тільки від його сумарною-ної маси та доданих сил; характер руху може ще зави-мережу від форми тіла, точніше від взаємного розташування утворюють його частинок (т. е. від розподілу мас).
Щоб при первинному вивченні динаміки мати можливість відволіктися від обліку впливу форми тіл (розподілу мас), вво-диться поняття про матеріальну точці.
Матеріальною точкою називають матеріальне тіло (тіло, що має масу), розмірами якого при вивченні його руху можна знехтувати.
Практично дане тіло можна розглядати як матеріальну точку в тих випадках, коли відстані, прохідні точками тіла при його русі, дуже великі в порівнянні з розмірами самого тіла. Крім того, як буде показано в динаміці системи поступально рухається тіло можна завжди розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі всього тіла.
Нарешті, матеріальними точками можна вважати частки, на кото-які ми будемо подумки розбивати будь-яке тіло при визначенні тих чи інших його динамічних характеристик.
В основі динаміки лежать закони, встановлені шляхом узагальнення результатів цілого ряду дослідів і спостережень над рухом тіл і перевірені великої суспільно-історичною практикою людства. Систематично ці закони були вперше викладені І. Ньютоном.
Перший закон (закон інерції), відкритий Галілеєм, говорить: ізольована від зовнішніх впливів матеріальна точка зберігає свій стан спокою або рівномірного прямо-лінійного руху до тих пір, поки прикладені сили не за-ставлять її змінити цей стан. Рух, що здійснюється точ-кою при відсутності сил, називається рухом по інерції.
Закон інерції відображає одне з основних властивостей матерії - перебувати незмінно в русі і встановлює для матеріальних тіл еквівалентність станів спокою і руху по інерції. З нього випливає, що якщо F = 0, то точка спочиває або рухається з постійного-ної по модулю і напрямку швидкістю (= const); прискорення точки при цьому дорівнює нулю: = 0); якщо ж рух точки не є рівномірним і прямолінійним, то на точку діє сила.
Система відліку, по відношенню до якої виконується закон інерції, називається інерціальній системою відліку (іноді її умовно називають нерухомою). За даними досвіду для нашої Сол-кінцевого системи інерціальної є система відліку, початок кото-рій перебуває в центрі Сонця, а осі направлені на так звані нерухомі зірки. При вирішенні більшості технічних завдань інерціальній, з достатньою для практики точністю, можна вважати систему відліку, жорстко пов'язану із Землею.
Другий закон (основний закон динаміки) говорить: добуток маси точки на прискорення, яке вона отримує під дією цієї сили, так само по модулю цій силі, а напрямок прискорення збігається з напрямком сили.
Математично цей закон виражається векторним рівністю.
При цьому між модулями прискорення і сили має місце залежність ma = F.
Другий закон динаміки, як і перший, має місце тільки по відношенню до інерціальній системі відліку. З цього закону непо-безпосередніх видно, що мірою інертності матеріальної точки є її маса, так як дві різні точки при дії однієї і тієї ж сили отримують однакові прискорення тільки тоді, коли будуть рівні їх маси; якщо ж маси будуть різні, то точка, маса кото-рій більше (т. е. більш інертна), отримає менше прискорення, і навпаки.
Якщо на точку діє одночасно кілька сил, то вони, як відомо, будуть еквівалентні одній силі, т. Е. Рівнодіюча-щей, що дорівнює геометричній сумі цих сил. Рівняння, висловлюю-ний основний закон динаміки, бере в цьому випадку вид
Третій закон (закон рівності дії і протидії) встановлює характер механічного взаємодії між мате-ріального тілами. Для двох матеріальних точок він говорить: дві ма-матеріальні точки діють один на одного з силами, рівними за модулем і спрямованими вздовж прямої, що з'єднує ці точки, в протилежні сторони.
Зауважимо, що сили взаємодії між вільними матеріальних-ними точками (або тілами), як прикладені до різних об'єктів, не утворюють врівноваженою системи. Наприклад, якщо на гладкій горизонтальній площині помістити на деякій відстані один від одного шматок заліза і магніт, то при взаємодії ці тіла будуть зближатися (а не перебувати в спокої). При цьому, так як дей-ціалу на кожне з тіл сили будуть по модулю однакові, то прискорення тіл, згідно з другим законом динаміки, будуть обернено пропорційні їх масам.
Третій закон динаміки, як встановлює характер взаємодій-наслідком матеріальних частинок, грає велику роль в динаміці системи.
Задачі динаміки для вільної і невільної мате-риальной точки.
Для вільної матеріальної точки задачами динаміки є наступні: 1) знаючи закон руху точки, визначити діючу на неї силу (перша задача динаміки); 2) знаючи дей-ціалу на точку сили, визначити закон руху точки (друга або основне завдання динаміки).
Вирішуються обидві ці задачі за допомогою рівнянь, ви-ража основний закон динаміки, так як ці рівняння пов'язують прискорення т. Е. Величину, що характеризує рух точки, і діючі на неї сили.
У техніці часто доводиться стикатися з вивченням несвободи-ного руху точки, т. Е. З випадками, коли точка, завдяки на-лежання на неї зв'язків, змушена рухатися по заданій неподвиж-ної поверхні або кривої.
У цих випадках, як і в статиці, будемо при вирішенні задач исхо-дить з аксіоми зв'язків, згідно з якою будь-яку невільну ма-матеріальних точку можна розглядати як вільну, відкинувши зв'язок і замінивши її дію реакцією зв'язку з цим. Тоді основний закон динаміки для невільного руху точки набуде вигляду:
де FK a - діючі на точку активні сили.
Перше завдання динаміки для невільного руху буде зазвичай зводитися до того, щоб, знаючи рух точки і діючі на неї активні сили, визначити реакцію зв'язку.
Приклад вирішення першого завдання динаміки: Ліфт вагою Р (рис. 1) починає підніматися з приско-ням а. Визначити натяг троса.
Розглядаючи ліфт як вільний, замінюємо дію зв'язку (троса) реакцією Т і, складаючи рівняння m = # 931; Fk a + в проекції на вертикаль, отримуємо:
Якщо ліфт почне опускатися з таким же прискоренням, то натяг троса дорівнюватиме: