Ми бачимо (див. Таблицю 1.4), сто якщо взяти інтерпретацію j. для якої j (х) = 0, j (y) = 1, (тобто взяти третій рядок таблиці), то j (F1) = j (F2) = j (F3) = 1, але j (G) = 0. Отже, формула G не є логічним наслідком формул F1, F2, F3.
Поняття логічного слідства тісно пов'язане з поняттям здійсненності.
Визначення. Безліч формул 1, F2, ..., Fl> називається здійсненним. якщо існує інтерпретація j така, що j (F1) = j (F2) = ... = j (Fl) = 1.
Перевірку здійсненності безлічі формул 1, F2, ..., Fl> можна провести побудовою спільної таблиці істинності цих формул. Якщо знайдеться хоча один рядок, в якій в стовпцях формул F1, F2, ..., Fl стоять одиниці, то це безліч формул здійснимо. Якщо такого рядка немає, то безліч формул неможливо. Так, безліч формул 1, F2, F3, G> з попереднього прикладу здійснимо, оскільки в таблиці 1.4 в першому рядку в стовпці цих формул стоять одиниці.
У темі 4 нам знадобиться наступне твердження.
Теорема 1.2 Формула G є логічним наслідком формул F1, F2, ..., Fk тоді і тільки тоді, коли безліч формул
Доведення. Нехай формула G є наслідком безлічі формул F1, ..., Fk. Припустимо, від супротивного, що безліч L здійснимо. Це означає, що існує інтерпретація y така, що y (F1) = ... = y (Fk) = y (Ø G) = 1. Але якщо y (F1) = ... = y (Fk) = 1, то y (G) = 1, оскільки G - логічний наслідок формул F1, ..., Fk. Отримане протиріччя y (Ø G) = 1 і y (G) = 1 доводить, що безліч формул 1, ..., Fk. Ø G> нездійсненно.
Нехай тепер безліч формул L нездійсненно. Розглянемо інтерпретацію j таку, що j (F1) = ... = j (Fk) = 1. Оскільки L нездійсненно, то j (Ø G) = 0. Якщо j (Ø G) = 0, то j (G) = 1. Отже, з рівності j (F1) = ... = j (Fk) = 1 слід рівність j (G) = 1. Це означає, що G - логічний наслідок безлічі формул F1, ..., Fk.