Перевірка математичних дій способом дев'ятки
Мета роботи: оцінити зручність і ефективність перевірки математичних дій способом «дев'ятки», який відомий з давніх часів.
Алгоритм перевірки арифметичних дій над цілими числами за допомогою "дев'ятки" такий: 1.Для кожного числа знайти суму цифр. 2. Для кожного з отриманих результатів підсумовування знайти залишки від ділення на 9. 3. Провести над залишками ті ж дії, що і над даними числами. 4.Сравніть результати. 5. Зробити висновок.
Оцінювалася ефективність перевірки наступних арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення.
У процесі дослідження ми виявили такі недоліки перевірки обчислень методом «дев'ятки» - похибка не буде виявлена в наступних випадках: 1.Якщо ми поміняємо цифри місцями. 2.Якщо в результат ми додамо або приберемо 9. 3.Якщо в результат ми додамо або приберемо 0. Тобто в тих випадках, коли допущена помилка не впливає на суму цифр, а, отже, на числовий залишок.
Основні висновки, отримані в процесі дослідження: 1. Перевірка арифметичних обчислень за допомогою методу «дев'ятки» - швидкий і зручний метод перевірки. 2. Якщо допущена помилка не впливає на суму цифр, а, отже, на цифровий залишок, то вона залишиться не виявленої. Тому не можна стверджувати про гарантовану надійності дослідженого методу. 3.Впрочем, для звичайних обчислень, де помилки зустрічаються на одну або дві одиниці, можна обмежитися тільки перевіркою за допомогою даного способу.
дослідних робіт з навчальних предметів
учнів установ загальної середньої освіти
Список літератури 14
Я вважаю, що дана робота буде корисна всім школярам і студентам.
Вивчити один з прийомів перевірки математичних дій - перевірку методом «дев'ятки». Відповісти на питання: «Чи можна відмовитися від традиційного способу перевірки арифметичних дій і замінити його на перевірку за допомогою методу« дев'ятки »»?
Завдання дослідницької роботи:Вивчити історію виникнення і розвитку перевірки обчислень методом «дев'ятки».
Сформулювати алгоритм перевірки обчислень за допомогою методу «дев'ятки».
Вивчити гідності і виявити недоліки даного методу.
Сформулювати висновки, отримані в процесі дослідження.
Історія виникнення і розвитку методу "дев'ятки"
За старих часів багато обчислювальні прийоми і арифметичні дії нелегко вдавалися, так як були дуже складними і громіздкими, вимагали багато місця і часу. Крім цього, обчислення проводилися не на папері, а на лічильної дошці, посипаною піском або пилом. Кожне проміжне обчислення стиралася піском, щоб звільнити місце для наступного обчислення. В самому кінці на дошці залишалися тільки дані числа і знайдений результат. Повторити заново все обчислення з метою перевірки було нелегко. Ось чому вдавалися до різних прийомів перевірки. Перевірка вважалася останнім етапом рішення.
Одним із старовинних способів перевірки є так званий метод "дев'ятки". Виклад його зустрічається у індійських математиків уже в Х столітті. Трохи пізніше з ним познайомилися вчені країн ісламу, а ще пізніше - європейські математики (Леонардо Фібоначчі і інші). ([1], c.81)
Алгоритм перевірки обчислень за допомогою "дев'ятки"
Відомо, що при розподілі будь-якого числа на 9 виходить такий же залишок, як і при розподілі на 9 суми цифр цього числа. Наприклад, 1738 при діленні на 9 дасть поза стінами вузу 1. Такий же залишок вийде від ділення на 9 чисел 19 = (1 + 7 + 3 + 8), 10 = (1 + 9), 1 = (0 + 1). Однозначне число 1, отримане від послідовного складання цифр числа тисяча сімсот тридцять вісім, назвемо числовим залишком. Відомо також, що залишок від ділення суми декількох чисел на якесь число дорівнює сумі залишків від ділення кожного з доданків на те ж число або залишку від ділення суми на дане число. ([1], c.81)
Алгоритм перевірки арифметичних дій над цілими числами за допомогою "дев'ятки":
Для кожного числа знайти суму цифр.
Для кожного з отриманих результатів підсумовування знайти залишки від ділення на 9.
Провести над залишками ті ж дії, що і над даними числами.
Висновок: При відніманні в різниці помилково 9 була замінена 0, але на суму цифр і числовий залишок це не вплинуло. Помилка не виявлено.
Отже, в процесі дослідження ми отримали наступні висновки:
похибка не буде виявлена в наступних випадках:
Якщо ми поміняємо цифри місцями.
Якщо в результат ми додамо або приберемо 9.
Якщо в результат ми додамо або приберемо 0.
Тобто в тих випадках, коли допущена помилка не впливає на суму цифр, а, отже, на числовий залишок. ([2], c.99)
Предки наші усвідомлювали це і не обмежувалися однією лише перевіркою за допомогою дев'ятки, але виробляли ще й додаткову перевірку - частіше за допомогою «сімки». Цей метод заснований на тому ж правилі залишків, але не так зручний, як спосіб дев'ятки, тому що поділ на 7 доводиться виконувати повністю, що б знайти залишки (а при цьому можливі помилки в діях самої перевірки).
Дві перевірки - «дев'яткою» і «сімкою» - є вже набагато більш надійним контролем: що вислизне від однієї, буде уловлено інший. Помилка не виявиться лише в тому випадку, якщо різниця істинного і отриманого результатів буде кратна числу 7 * 9 = 63. Так як подібна випадковість все ж можлива, то подвійна перевірка не дає повної впевненості в правильності результату. ([3], c.47)
Основні висновки, отримані в процесі дослідження
Вивчивши літературу і проаналізувавши ряд прикладів, приходимо до наступних висновків:
Перевірка дій за допомогою "дев'ятки" швидкий і зручний спосіб.
Якщо допущена помилка не впливає на суму цифр, а, отже, на цифровий залишок, то вона залишиться не виявленої. Метод не гарантує перевірку без помилок. Тому повністю покладатися на такий прийом перевірки не можна.
Для звичайних обчислень, де помилки зустрічаються на одну або дві одиниці, можна обмежитися тільки перевіркою за допомогою «дев'ятки».
Глейзер, Г.І. Історія математики в школі / Г.І. Глейзер - Москва:
Просвітництво, 1964. - 364 с.
Н.Я. Виленкин, І.Я. Депман За сторінками підручника математики / Виленкин Н.Я. Депман І.Я. - Москва: Просвещение, 1988, - 361 с.