Опорними точками при дослідженні функцій і побудови їх графіків служать характерні точки - точки розриву, екстремуму, перегину, перетину з осями координат. За допомогою диференціального обчислення можна встановити характерні особливості зміни функцій: зростання і спадання, максимуми і мінімуми, напрямок опуклості і угнутості графіка, наявність асимптот.
Ескіз графіка функції можна (і потрібно) накидати вже після знаходження асимптот і точок екстремуму, а зведену таблицю дослідження функції зручно заповнювати по ходу дослідження.
Зазвичай використовують наступну схему дослідження функції.
2. Досліджують функцію на парність або непарність (осьова або центральна симетрія графіка.
3. Знаходять асимптоти (вертикальні, горизонтальні або похилі).
6. Знаходять точки перетину кривої з осями координат, якщо вони існують.
7. Складають зведену таблицю дослідження.
8. Будують графік, враховуючи дослідження функції, проведене по вищеописаним пунктам.
Приклад. дослідити функцію
і побудувати її графік.
1. Область визначення функції - вся числова пряма. Безліччю значень даної функції, як і будь-якої показовою функції, служить інтервал] 0, + ∞ [. Тому графік функції розташований вище осі Ox.
2. Нагадаємо: з шкільного курсу відомо, що функція y = f (x) називається парною, якщо
для всіх x. що належать області визначення функції.
Графік парної функції симетричний щодо осі Oy. так як, за визначенням, разом з будь-якою своєю точкою (x; y) він містить і точку (-x; y).
Функція y = f (x) називається непарної, якщо
для всіх x. що належать області визначення функції.
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат, так як, за визначенням, разом з будь-якою своєю точкою (x; y) він містить і точку (-x; -y).
Наша досліджувана функція парна, так як
її графік симетричний відносно осі Oy. Тому дослідження можна виконувати тільки для] 0, + ∞ [.
3. Вертикальних асимптот у графіка немає, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Горизонтальної асимптотой є вісь Ox. так як
Оскільки крива має двосторонню горизонтальну асимптоти y = 0. у неї не може бути похилих асіптот.
Так як при переході через значення x = 0 змінює знак з плюса на мінус, то функція в точці x = 0 переходить від зростання до спадаючій, а (0; 1) - точка максимуму. Дотична до кривої в цій точці горизонтальна, оскільки
З огляду на парність функції, досліджуємо знаки в околиці тільки точки
Отже, при x = 1 крива змінює опуклість на увігнутість. Так як
точка перегину кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної в кривої в цій точці
тому в точці перегину дотична утворює з віссю Ox тупий кут.
6. Графік не перетинає осі Ox. оскільки він розташований вище неї. Знайдемо точки перетину кривої з віссю Oy. вважаючи x = 0. маємо
Тим самим отримаємо точку (0; 1) графіка, яка збігається з точкою максимуму.
7. Складемо зведену таблицю дослідження функції, куди внесемо всі характерні точки і інтервали між ними. З огляду на парність функції, отримуємо наступну таблицю: