Розглянемо таку задачу. Дано квадратне рівняння з параметром, потрібно провести повне дослідження знаків коренів рівняння в залежності від значень параметра. Тут застосовуються два підходи: рішення рівняння і використання формул Вієта. Якщо дискримінант рівняння є повним квадратом, а старший коефіцієнт не залежить від параметра, то простіше вирішити рівняння і досліджувати знаки коренів безпосередньо.
1. Визначити знаки коренів рівняння в залежності від параметра. Рішення. Знайдемо дискримінант. Оскільки дискримінант є повним квадратом, то нескладно вирішити це рівняння: Обидва кореня позитивні, якщо. Обидва кореня негативні, якщо. Перевіряємо інші проміжки: при. при. т. е. коріння мають різні знаки. У решти точках, при. коріння обчислюємо: один корінь дорівнює нулю, а другий негативний. Потрібно ще відзначити, коли коріння збігаються:. при цьому кратний корінь дорівнює. Завдання вирішена, але корисно розглянути геометричну ілюстрацію. Зобразимо на площині AОX прямі і (рис. 1). Всю інформацію про знаках коренів при різних значеннях ми можемо прочитати за кресленням: для даного значення подумки проведемо вертикальну пряму і відзначимо точки перетину з прямими і. їх ординати і є корінням рівняння. За кресленням добре видно, що при і при один корінь негативний, а інший позитивний, при і при - один негативний, а інший дорівнює нулю, при два різних негативних кореня, а при - кратний негативний корінь. Відповідь: при і при корені різних знаків, при і при один корінь негативний, а інший дорівнює нулю, при два різних негативних кореня, при кратний негативний корінь.
1) Якщо старший коефіцієнт залежить від параметра, то знаходимо, при яких значеннях параметра він дорівнює нулю. Підставляємо ці значення в рівняння і вирішуємо отримане лінійне рівняння. Визначаємо знак його кореня.
2) Знаходимо дискримінант рівняння і вирішуємо нерівність. Таким чином, з'ясовуємо, при яких значеннях параметра коренів немає.
3) Розглянемо значення параметра, при яких. т. е. коріння збігаються. Потрібно їх знайти і визначити знак.
4) Розглянемо значення параметра, при яких. Обидва кореня позитивні тоді і тільки тоді, коли їх сума і твір позитивні. Обидва кореня негативні тоді і тільки тоді, коли їх сума негативна, а твір позитивно. Коріння мають різні знаки тоді і тільки тоді, коли їх твір негативно. Використовуючи формули Вієта, складаємо і вирішуємо відповідні системи.
5) Окремо треба розібрати випадок, коли один з коренів дорівнює нулю. Для цього підставляємо в рівняння, знаходимо значення параметра і другий корінь.
Найчастіше в задачах потрібна тільки частина такого дослідження.
2. При яких значеннях параметра рівняння має два різних позитивних кореня? Рішення. Обидва кореня позитивні тоді і тільки тоді, коли їх сума і твір позитивні. Щоб коріння існували і були різні, будемо вимагати, щоб дискримінант був позитивний. Отримаємо систему. Відповідь:.
3. При яких значеннях рівняння не має позитивних коренів? Рішення. При отримуємо. позитивних коренів немає. Знайдемо дискримінант рівняння. Значить, при рівняння не має ніяких коренів. Щоб обидва кореня були негативні, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови: сума коренів. а твір коренів. Складемо систему. Якщо один корінь дорівнює 0, то і інших коренів немає. Значить, потрібно об'єднати проміжки. де немає ніяких коренів, проміжок. де обидва кореня негативні, і точку 0, де один нульовий корінь. Відповідь:.
4. Визначити знак коренів квадратного рівняння. Рішення. 1) Розглянемо випадок. В цьому випадку отримуємо лінійне рівняння. т. е. в цьому випадку є один позитивний корінь. 2) Нехай. Так як . то при коренів немає. 3) При. отримуємо рівняння з негативним коренем і рівняння з позитивним коренем. 4) Нехай. Обидва кореня позитивні, якщо. Обидва кореня негативні, якщо виконуються умови. Коріння різних знаків, якщо. 6) Нехай один корінь дорівнює нулю. Підставляючи в рівняння, отримуємо. Саме рівняння набуває вигляду. Значить, другий корінь негативний. Відповідь: при коренів немає, при негативні коріння, при один корінь негативний, другий дорівнює нулю, при корені різних знаків, при корені позитивні.