У своїй практичній діяльності ми часто зустрічаємося з явищами, результат яких неможливо передбачити, результат яких залежить від випадку. Теорія ймовірностей - це розділ математики, в якому вивчаються випадкові явища (події) і виявляються закономірності при масовому їх повторенні. Основне поняття теорії ймовірностей - ймовірність події (відносна частота події) - об'єктивна міра можливості здійснення даної події.
Події прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту: А, В, С, D. Перелічимо основні види випадкових подій:
- події називаються несумісними. якщо ніякі два з них не можуть відбутися в даному випробуванні (досвіді) разом. Наприклад, при підкиданні монети поява цифри виключає одночасне поява герба;
- дві події називаються спільними. якщо поява одного з них не виключає появу іншої події в тому ж випробуванні (досвіді);
- подія називається достовірною. якщо воно відбувається в даному випробуванні обов'язково. Наприклад, виграш по квитку безпрограшної лотереї є подія достовірне;
- подія називається неможливим. якщо воно в даному випробуванні не може відбутися. Наприклад, при киданні гральної кістки неможливо отримати 7 очок;
- дві події називаються протилежними (А і А # 772;), якщо в даному випробуванні вони несумісні і одне з них обов'язково відбувається. Ймовірності протилежних подій в сумі дають 1;
- подія В називається незалежним від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності події В: РА (В) = Р (В). В іншому випадку подія В називається залежним від події А;
Повної системою подій А1. А2. А3. ..., Аn називається сукупність несумісних подій, настання хоча б одного з яких обов'язково при цьому випробуванні (досвіді).
Кожному події A ставиться у відповідність деяка міра P (A), яка називається ймовірністю цієї події і яка задовольняє наступним аксіомам:
- для будь-якої події 0 ≤ P (A) ≤ 1;
- ймовірність неможливого події дорівнює нулю, P (А) = 0;
- ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, Р (А) = 1.
Існує класичний і геометричний способи підрахунку ймовірності події.
При класичному способі підрахунку ймовірність події А обчислюється за формулою: Р (А) = m / n. де:
- всі елементарні результати рівноможливими, тобто жоден з них не є більш можливим, ніж інший;
- m - число елементарних результатів випробування, що сприяють появі події А;
- n - загальне число всіх можливих елементарних фіналів випробування.
Для підрахунку n і m часто застосовуються поняття і формули комбінаторики:
- n-факторіал - це твір всіх натуральних чисел від одиниці до n включно: n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n. Наприклад: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24, 1! = 1, 0! = 1
- перестановка з n елементів - комбінація з n елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів. Число всіх можливих перестановок обчислюють за формулою: Pn = n!
- перестановка з повтореннями - нехай дано n1 елементів першого типу, n2 - другого типу. nk - k-го типу, всього n елементів. Способи розмістити їх по різних місцях називаються перестановками з повтореннями. Число всіх перестановок з повтореннями обчислюють за формулою: Pn (n1, n2, ..., nk) = n! / N1! N2. nk!
- розміщення - комбінації з n елементів по m (m
При n = m розміщення стає перестановкою. Якщо не брати до уваги порядок елементів в розміщенні, а враховувати тільки його склад, то виходить поєднання. - поєднання - всі можливі комбінації з n елементів по m (m
Геометричний спосіб підрахунку ймовірності застосовується, коли елементарні результати експерименту можуть бути інтерпретовані як точки відрізка, фігури або тіла.
Нехай відрізок l становить частину відрізка L. Якщо припустити, що ймовірність попадання точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка, то ймовірність попадання точки на відрізок l визначається рівністю: Р = Довжина l / Довжина L.
Ймовірність влучення точки в плоску фігуру g, складову частину плоскої фігури G: Р = Площа g / Площа G.
Ймовірність влучення точки в просторову фігуру # 965 ;, яка становить частину фігури V: Р = Обсяг # 965; / Обсяг V.
Приклади розв'язання задач за темою «Елементи комбінаторики. Події та їх ймовірності »
У 11-му класі 30 осіб. 18 осіб вивчають англійську мову, 16 - німецький, 9 - обидві мови. Скільки людей вивчають а) тільки англійську мову, б) тільки німецьку мову, в) не вивчають жодної мови?
Рішення.
а) оскільки 18 осіб вивчають англійську, з них 9 вивчають і англійську і німецьку, то 18-9 = 9 осіб вивчають лише англійську мову;
б) оскільки 16 осіб вивчають німецьку, з них 9 вивчають і німецьку та англійську, то 16-9 = 7 осіб вивчають тільки німецьку мову;
в) оскільки в класі 30 чоловік, з них 9 вивчають тільки англійська, 7 - тільки німецький, 9 - обидві мови, то 30 - (9 + 7 + 9) = 5 людина не вивчають жодної мови.
Скількома способами можна переставити букви в слові «фікус»?
Рішення. В даному випадку необхідно знайти число перестановок з 5 букв, а оскільки в слові «фікус» всі букви різні, то число перестановок визначаємо за формулою: P5 = 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
Скількома способами можна переставити букви в слові «відповідь»?
Рішення. Необхідно знайти число перестановок з 5 букв, але на відміну від задачі 2, тут є повторювані букви - буква «а» повторюється двічі. Тому число способів визначимо за формулою перестановок з повтореннями: P5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.
У збірнику квитків з математики всього 25 квитків, в 10 з них зустрічається питання по похідною. Знайдіть ймовірність того, що в випадково обраному на іспиті квитку учневі дістанеться питання по похідною.
Рішення. В даному випадку число сприятливих результатів одно (25-10) = 15, загальна кількість подій - 25.
Імовірність події А = знаходимо як відношення: Р (А) = 15/25 = 0,6.
У ящику є 15 деталей, серед яких 8 забарвлених. Складальник навмання витягує три деталі. Знайти ймовірність того, що витягнуті деталі виявляться пофарбованими.
Загальна кількість всіх можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти 3 деталі з 15:
n = С15 3 = 15! / 3! (15-3)! = 15! / (3! * 12!) = 13 * 7 * 5 = 455.
Число сприятливих результатів дорівнює числу способів, якими можна витягти 3 деталі з 8 забарвлених:
m = С8 3 = 8! / 3! (8-3)! = 8! / (3! * 5!) = 7 * 8 = 56.
Імовірність події А знаходимо як відношення: Р (А) = m / n = 56 / 455≈0,12
Серед 17 студентів групи, з яких 8 - дівчини, розігрується 7 квитків в театр. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявляться 4 дівчини і 3 юнаків?
Загальна кількість можливих елементарних фіналів розіграшу дорівнює числу способів, якими можна вибрати 7 осіб з усіх студентів групи, т. Е. З 17: n = С17 7 = 17! / 7! (17-7)! = 17! / (7! * 10!) = 19448.
Число сприятливих результатів (серед 7 володарів квитків 4 дівчини і 3 юнаків) знайдемо, враховуючи, що 4-х дівчат їх 8 можна вибрати С8 4 способами, а 3-х юнаків з 9 можна вибрати С9 3 способами. Отже, m = С8 4 * С9 3 = 8! 9! / 4! (8-4)! 3! (9-3)! = 5880.
Імовірність події А знаходимо як відношення: Р (А) = m / n = 5880 / 19448≈0,3
Інші статті на цю тему:
Список використаних джерел