Обчислити максимальну енергію EF (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) при температурі Т = 0 К. Прийняти, що на кожен атом міді припадає по одному валентному електрону.
Рішення. Максимальна енергія EF. яку можуть мати електрони в металі при Т = 0 К, пов'язана з концентрацією вільних електронів співвідношенням
Концентрація вільних електронів за умовою задачі дорівнює концентрації атомів, яка може бути знайдена за формулою
де - щільність міді; NА постійна Авогадро; М - молярна маса. Підставляючи вираз (2) у формулу (1), отримуємо
Провівши обчислення, отримаємо: EF = 1,2 # 8729; 10 -18 Дж = 7,4 еВ.
Кристалічний алюміній масою 10 г нагрівається від 10 до 20 К. Користуючись теорією Дебая, визначити кількість теплоти, необхідне для нагрівання. Характеристична температура Дебая для алюмінію дорівнює 418 К. Вважати, що умова виконується. М = 27 × 10 -3 кг / моль.
Рішення. Кількість теплоти, необхідне для нагрівання алюмінію від температури Т1 до Т2. будемо обчислювати за формулою
де m - маса алюмінію; с - його питома теплоємність, яка пов'язана з молярної теплоємністю співвідношенням с = Сm / М. З огляду на це, формулу (1) запишемо у вигляді
За теорією Дебая, якщо умова виконана, молярна теплоємність визначається граничним законом
де R = 8,31 Дж / (моль × К) - молярна газова стала; - характеристична температура Дебая; Т - термодинамічна температура. Підставляючи (3) в (2) і виконуючи інтегрування, отримуємо
Підставляючи числові значення, знаходимо Q = 0,36 Дж.
Використовуючи квантову теорію теплоємності Ейнштейна, обчислити питому теплоємність при постійному обсязі алюмінію при температурі Т = 200 К. характеристичні температуру Ейнштейна прийняти для алюмінію рівною 300 К.
Рішення. Питома теплоємність з речовини може бути виражена через молярну теплоємність СМ співвідношенням
де М - молярна маса. Молярна теплоємність при постійному обсязі по теорії Ейнштейна виражається формулою
Вираз для питомої теплоємності набуває вигляду
Провівши обчислення, отримаємо: з = 770 Дж / (кг # 8729; К).
Відповідь. з = 770 Дж / (кг # 8729; К).
Питома провідність кремнієвого зразка при нагріванні від температури t1 = 0 о С до температури t2 = 18 o С збільшилася в 4,24 рази. Визначити ширину забороненої зони кремнію.
Рішення. Питома провідність власних напівпровідників
де - постійна, характерна для даного напівпровідника; - ширина забороненої зони. Тоді відношення провідностей при двох температурах
Звідки висловлюємо шукану ширину забороненої зони
Обчислюючи, отримуємо = 1,1 еВ.
Чому дорівнює рухливість електронів в натрії при 0 o С, якщо електропровідність міді 0,23 # 8729, 10 8 1 / (Ом # 8729; м), а концентрація носіїв заряду 2,5 # 8729, 10 28 м -3.
Рішення. Рухливість електронів визначається як середня дрейфова швидкість, віднесена до одиниці напруженості електричного поля
де t - час релаксації. Так як . то. Обчислюючи, отримуємо 0,56 # 8729; 10 -2 м 2 / (В # 8729; с).
Відповідь. 0,56 # 8729; 10 -2 м 2 / (В # 8729; с).
Визначити середню енергію електрона в металі при абсолютному нулі температури.
Рішення. Повна енергія електронів в одиниці об'єму металу дорівнює
З урахуванням того, що концентрація електронів пов'язана з рівнем Фермі співвідношенням
Повна енергія дорівнює
Середня енергія електрона дорівнює