Глава II. теорія поля
§1. Основні поняття теорії ПОЛЯ
Теорія поля - великий розділ, фізики, механіки, математики, в якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін.
Полем називається область V простору, в кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці М цій галузі відповідає певне число U = U (M), говорять, що в області визначено, задано скалярний поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярний поле - це скалярна функція U (M) разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точці М області простору відповідає певний вектор, то кажуть, що задано векторне поле (або векторна функція точки).
Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури, атмосферного тиску, щільності, електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей частинок поточної рідини (вітру), магнітне поле, поле щільності електричного струму і т.д.
Якщо функція U (M) () не залежить від часу, то скалярний (векторне) поле називається стаціонарним; поле, яке змінюється з плином часу називається нестаціонарним.
Далі будемо розглядати тільки стаціонарні поля.
Якщо V - область тривимірного простору, то скалярний поле U можна розглядати як функцію трьох змінних x, y, z (координат точки M):
Якщо скалярна функція U (M) залежить тільки від двох змінних, наприклад x і y. відповідне скалярне поле U (x; y) називають плоским.
Аналогічно: вектор можна розглядати як векторну функцію трьох скалярних аргументів x, y і z. або. Вектор можна представити у вигляді
де P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - проекції вектора на осі координат. Якщо у вибраній системі координат Oxyz одна з проекцій вектора дорівнює 0, а дві інші залежать тільки від двох змінних, то векторне поле називається плоским.
Векторне поле називається однорідним. якщо - постійний вектор (P, Q, R - постійні величини).
§2. скалярне поле
Нехай задано скалярний стаціонарне поле U = f (M) = f (x; y; z). де функцію f (x; y; z) будемо завжди припускати безперервно диференціюється в даній області.
Основне питання дослідження скалярного поля є питання про зміну функції U при переході з однієї точки простору в іншу. Для з'ясування цього питання розглянемо, перш за все, геометричне місце точок, в яких величина U зберігає постійне значення. Це геометричне місце точок називають поверхнею рівня скалярного поля U. Її рівняння в обраній системі координат має вигляд: U (x; y; z) = C. де C = const. Отже, змінюючи значення C, отримуємо сімейство поверхонь рівня, які заповнюють всю область, де визначено поле, і ніякі дві поверхні рівня, що відповідають різним значенням C, не мають спільних точок.
Завдання всіх поверхонь рівня із зазначенням відповідних значень C рівносильно завданням самого поля. Зазначений спосіб зображення поля особливо зручний, якщо мова йде про поле, заданому в плоскій області D двох змінних. У цьому випадку рівняння U (x, y) = C визначає, взагалі кажучи, деяку криву лінію, звану лінією рівня плоского скалярного поля.
Такі лінії різних скалярних полів всім добре відомі: лінії рівних висот (горизонталі) зручні для зображення розміру місцевості, лінії рівних температур (ізотерми) або лінії рівних тисків (ізобари) в метеорології і т. Д.
Похідна скалярного поля у напрямку
Похідною скалярною функцііU = f (x;, y; z) у напрямку вектора
Отже, характеризує швидкість зміни величини U в точці M0 в напрямку вектора.
Очевидно, що функція U має безліч похідних за напрямками в кожній точці M. Отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямком. Так як
Позначимо цю функцію