ГЛАВА 1. Розвиток геометрії
Геометрія, як і інші науки, виникла з потреб практики. Саме слово «геометрія» грецьке, в перекладі означає «землемір».
Люди дуже рано зіткнулися з необхідністю вимірювати земельні ділянки. Це вимагало певного запасу геометричних і арифметичних знань. Поступово люди почали вимірювати і вивчати властивості більш складних геометричних фігур.
«За що дійшли до нас єгипетським папірусу і древневавілонскім текстів видно, що вже за 2 тисячі років до нашої ери люди уміли визначати площі трикутників, прямокутників, трапецій, наближено обчислювати площу кола, - пише І. Г. Башмакова. - Вони знали також формули для визначення обсягів куба, циліндра, конуса, піраміди і усіченої піраміди. Відомості з геометрії незабаром стали необхідні не тільки при вимірі землі. Розвиток архітектури, а трохи пізніше і астрономії пред'явило геометрії нові вимоги. І в Єгипті і в Вавилоні споруджувалися колосальні храми, будівництво яких могло здійснюватися тільки на основі попередніх розрахунків. І все ж, незважаючи на те що людство накопичило такі великі знання геометричних фактів, геометрія як наука ще не існувала.
Геометрія стала наукою лише після того, як в ній почали систематично застосовувати логічні докази, почали виводити геометричні пропозиції не тільки шляхом безпосередніх вимірювань, але і шляхом умовиводів, шляхом виведення одного положення з іншого, і встановлювати їх в загальному вигляді. Зазвичай цей переворот в геометрії пов'язують з ім'ям ученого і філософа VI століття до нашої ери Піфагора Самоський ».
Однак все нові проблеми і створені в зв'язку з ними теорії привели до того, що удосконалювалися самі способи математичних доказів, зростала потреба створення стрункої логічної системи в геометрії.
«Але як будувати таку систему? - запитує І.Г. Башмакова. - Адже кожне окреме пропозицію ми доводимо, спираючись на деякі інші пропозиції. Ці пропозиції в свою чергу доводяться посиланням на якісь тр треті пропозиції і т. Д. Ці посилання ми могли б продовжувати до нескінченності, і процес докази ніколи б не закінчився. Як же бути? Ця обставина помітили ще в давнину, і тоді ж був знайдений вихід. Не пізніше IV століття до нашої ери грецькі математики при побудові геометрії вибирали деякі пропозиції, які приймалися без докази, а всі інші пропозиції виводили з них строго логічно. Пропозиції, прийняті без доказу, називалися аксіомами і постулатами.
Найбільш досконалим зразком такої теорії протягом більше 2 тисяч років служили «Почала» Евкліда, написані близько 300 року до нашої ери ».
ГЛАВА 2 Особливості відкриттів Евкліда
Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але виявилося, що зробити це не так-то просто. Тоді він закликав Евкліда і попросив вказати йому легкий шлях до математики. «До геометрії немає царської дороги», - відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшло до нас це стало крилатим вираз.
Цар Птолемей I, щоб возвеличити свою державу, залучав в країну вчених і поетів, створивши для них храм муз - Мусейон. Тут були зали для занять, ботанічний і зоологічний сади, астрономічний кабінет, астрономічна вежа, кімнати для відокремленої роботи і головне - чудова бібліотека. У числі запрошених вчених виявився і Евклід, який заснував в Олександрії - столиці Єгипту - математичну школу і написав для її учнів свою фундаментальну працю.
Саме в Олександрії Евклід засновує математичну школу і пише велику працю по геометрії, об'єднаних під загальною назвою «Начала» - головну працю свого життя. Вважають, що він був написаний близько 325 року до нашої ери.
Попередники Евкліда - Фалес, Піфагор, Аристотель та інші багато зробили для розвитку геометрії. Але все це були окремі фрагменти, а не єдина логічна схема.
Як сучасників, так і послідовників Евкліда приваблювала систематичність і логічність викладених відомостей. «Начала» складаються з 13 книг, побудованих за єдиною логічною схемою. Кожна з книг починається визначенням понять (точка, лінія, площина, фігура і т. Д.), Які в ній використовуються, а потім на основі невеликого числа основних положень (5 аксіом і 5 постулатів), прийнятих без доказу, будується вся система геометрії .
«Начала» Евкліда є виклад тієї геометрії, яка відома і понині під назвою Евклідовій геометрії. Як постулатів Евклід вибрав такі пропозиції, в яких стверджувалося те, що можна перевірити найпростішими побудовами за допомогою циркуля і лінійки. Евклід прийняв також деякі загальні пропозиції-аксіоми, наприклад, що дві величини, порізно рівні третьої, рівні між собою. На основі таких постулатів і аксіом Евклід строго і систематично розвинув всю планиметрию.
В «Засадах» він описує метричні властивості простору, яке сучасна наука називає евклідовому просторі.
Евклід простір є ареною фізичних явищ класичної фізики, основи якої були закладені Галілеєм і Ньютоном. Це простір порожній, безмежне, изотропное, що має три виміри. Евклід додав математичну визначеність атомістичної ідеї порожнього простору, в якому рухаються атоми. Найпростішим геометричним об'єктом у Евкліда є точка, яку він визначає як те, що не має частин. Іншими словами, точка - це неподільний атом простору.
Нескінченність простору характеризується трьома постулатами:
«Від усякої точки до будь-якої точки можна провести пряму лінію». «Обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій». «З будь-якого центру і всяким розчином може бути описаний коло».
Вчення про паралельних і знаменитий п'ятий постулат ( «Якщо пряма, падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути менші двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих») визначають властивості Евклидова простору і його геометрію, відмінну від неевклідових геометрій.
П'ятий постулат про паралельних формулювали: Прокл (411 - 485 до н.е.), Евклід (325 - 265 до н.е.), Архімед (287 - 212 до н.е.), Птолемей (85 - 165 до н. е.), Валліс (1663), Лежандр (1794, 1823), і навіть відомий поет Омар Хайям, Але «хрещеним дідом» неевклідової геометрії виявився італійський монах, який учив математики та граматики Джироламо Саккери, відомий передсмертним трактатом (1766): «Евклід , очищений від усіх плям ».
Допустивши, що V постулат не вірний, математики намагалися прийти до логічного протиріччя. Вони приходили до тверджень, жахливо, що не відповідає нашій геометричній інтуїції, але логічного протиріччя не виходило.
До відкриття нової, до так званої «неевклідової» геометрії прийшли три людини: Карл Фрідріх Гаус, Янош Бойяи, Микола Іванович Лобачевський.
Однак, все зроблене в області геометрії Гауссом і Я. Бойяи представляють собою лише перші кроки в порівнянні з глибокими і далекосяжними дослідженнями Лобачевського, який все життя завзято і наполегливо розробляв з різних точок зору своє вчення.
Тому перше місце серед осіб, які поділяють славу створення неевклідової геометрії, слід безроздільно відвести Лобачевському, ім'я якого і носить створена ним геометрія.
П'ятий постулат не залежить від інших аксіом Евкліда і не може бути доведений з їхньою допомогою. Тому, помістивши його в числі постулатів, Евклід був прав.
Зазвичай про «Засадах» кажуть, що після Біблії це найпопулярніший написаний пам'ятник старовини. Книга має свою, дуже примітну історію. Протягом двох тисяч років вона була настільною книгою школярів, використовувалася як початковий курс геометрії. «Начала» користувалися винятковою популярністю, і з них було знято безліч копій працьовитими переписувачами в різних містах і країнах. Пізніше «Начала» з папірусу перейшли на пергамент, а потім на папір. Протягом чотирьох століть «Начала» публікувалися 2500 разів: в середньому виходило щорічно 6-7 видань. До двадцятого століття книга вважалася основним підручником з геометрії не тільки для шкіл, але і для університетів.
«Начала» Евкліда були ґрунтовно досліджені арабами, а пізніше європейськими вченими. Вони були переведені на основні світові мови. Перші оригінали були надруковані в 1533 році в Базелі. Цікаво, що перший переклад на англійську мову, що відноситься до 1570 року, був зроблений Генрі Біллінгвеем, лондонським купцем.
У арифметиці Евклід зробив три значних відкриття. По-перше, він сформулював (без докази) теорему про розподіл із залишком. По-друге, він придумав "алгоритм Евкліда" - швидкий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника чисел чи загальної заходи відрізків (якщо вони сумірні). Нарешті, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел - і довів, що їх безліч нескінченно. Але чи правда, що будь-яке ціле число розкладається в добуток простих чисел єдиним способом? Довести це Евклід не зумів - хоча мав у своєму розпорядженні усіма необхідними для цього засобами.
Звичайно, все особливості Евклидова простору були відкриті не відразу, а в результаті багатовікової роботи наукової думки, але відправним пунктом цієї роботи послужили «Начала» Евкліда. Знання основ Евклідовій геометрії є сьогодні необхідним елементом загальної освіти в усьому світі.
Можна сміливо стверджувати, що Евклід заклав основи не тільки геометрії, але і всієї античної математики.
Лише в дев'ятнадцятому столітті дослідження основ геометрії піднялися на нову, більш високу ступінь. Вдалося з'ясувати, що Евклід перерахував далеко не всі аксіоми, які насправді потрібні для побудови геометрії. Насправді при доказах вчений ними користувався, але не сформулював.
Проте все вище сказане анітрохи не применшує ролі Евкліда, першого показав, як можна і як потрібно будувати математичну теорію. Він створив дедуктивний метод, міцно увійшов в математику. А значить, всі наступні математики до певної міри є учнями Евкліда.
Список використаних джерел