Властивості модуля і аргументу комплексного числа дозволяють отримати формулу зведення комплексного числа в цілу позитивну ступінь:
- цю формулу називають формулою Муавра.
Або в показовою формі.
Легко перевірити, що ця формула залишається справедливою і для. і для цілих негативних ступенів.
Рішення . Запишемо спочатку число в тригонометричної формі:
За формулою Муавра маємо:
Определеніе.Корнем n-го ступеня з комплексного числа називається таке комплексне число. для котрого: .
З визначення і формули Муавра ясно, що модуль шуканого кореня буде. а аргумент. де. Таким чином,
Надавати «k» значення, більші, ніж не має сенсу, так як будемо отримувати вже наявні значення аргументу (з точністю до). Отже, корінь n-го ступеня з комплексного числа має n різних значень, модулі яких однакові (), а аргументи двох послідовних значень відрізняються на кут. Таким чином, всі значення кореня лежать на окружності з центром на початку координат радіуса.
Приклад .Вичісліть все значення кореня
Приклад. Знайти всі значення.
Нехай - деякий безліч комплексних чисел (або безліч точок комплексної площині). Нехай комплексне число може приймати будь-яке значення з. тоді будемо називати - комплексним змінним, а - областю його зміни.
Визначення. Величина називається функцією незалежного змінного, якщо кожному значенню відповідає одне або кілька комплексних значень. при цьому пишуть:.
Запишемо комплексні числа і в алгебраїчній формі:
Тоді. і значить, завдання функції комплексної змінної еквівалентно завданням двох дійсних функцій від двох дійсних змінних.
Визначення. Число називається границею функції при. якщо для будь-якого знайдеться таке. що як тільки (). Записують:.
Нескладно показати, що співвідношення,
де. а. еквівалентно двом дійсним співвідношенням:.
Визначення. Функція називається неперервною в точці. якщо вона визначена в деякому околі цієї точки і.
Якщо. визначена на множині. неперервна в кожній точці цієї множини, то говорять, що вона неперервна на множині. Знову легко показати, що умова безперервності функції в точці еквівалентно двом співвідношенням:. Таким чином, функція комплексного змінного неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини, що розглядаються як функції дійсних змінних і. безперервні в тій же точці.
Введемо визначення основних елементарних функцій комплексного змінного.
Визначення. Функція для комплексних значень z = x + iy визначається формулою:.
· Для будь-яких і справедливо:.
· Функція періодична з періодом. .
· Функція неперервна на всій комплексній області.
· Для будь-якого мають місце рівності:
· Функція приймає всі значення, крім нуля, тобто рівняння вирішується для будь-якого комплексного.