Правила округлення чисел
Всі числові значення (числа), отримані в результаті різного роду вимірів (в тому числі і геодезичних), є наближеними. Це пояснюється тим, що вимірювальні прилади не є абсолютно точними, а також тим, що на результати вимірювань істотно впливають зовнішні умови, в яких проводяться вимірювання.
Опускання (відкидання) зайвих цифр молодших розрядів називається округленням чисел, а різниця між округленим і неокругленних числами називається помилкою округлення.
При геодезичних обчисленнях числа округлюють за правилом, запропонованим Гауссом. Це правило полягає в наступному:
- якщо відкидається залишок числа менше 0,5 одиниці попереднього розряду, що залишилися цифри не змінюють.
Приклад. Якщо прийняти число π рівним 3,141 593, то воно, округлене до.пяті знаків після коми, дорівнюватиме 3,141 59;
- якщо відкидається залишок числа більше 0,5 одиниці попереднього розряду, останню що залишилася цифру збільшують на одиницю.
Приклад. Число π, округлене до чотирьох знаків після коми, дорівнюватиме 3,1416;
- якщо відкидається залишок числа дорівнює 0,5 одиниці попереднього розряду, число округлюють у бік парного.
Приклад. Число 1,35 так же, як і число 1,45, округляється до 1,4.
Застосування правила Гаусса при округленні дозволяє:
- легко встановити максимально можливу помилку округлення будь-якого числа (вона ніколи не буде перевищувати 0,5 одиниці останнього знака);
- значно послабити вплив помилок округлення на точність остаточного результату при дії з наближеними числами за рахунок компенсації помилок округлення, що мають різні знаки - «плюс» і «мінус».
При діях з наближеними числами в кожному числі необхідно розрізняти десяткові знаки, значущі цифри і вірні цифри. Десятковими знаками називаються всі цифри, що стоять після коми. Значущими цифрами називаються всі цифри числа, крім нулів зліва і нулів праворуч, які в останньому випадку замінюють невідомі цифри. Вірними називаються цифри, довіра до яких не викликає сумніву, а також цифри, помилка округлення яких не перевищує 0,5 одиниці останнього знака.
1. При вимірюванні довжини лінії землемірної стрічкою отриманий результат 71,32 м. У цьому числі два десяткових знака, чотири значущі цифри і тільки три вірні цифри, так як на мірної стрічці немає шкали сантиметрів, тому відлік, зняті глазомерно, мають малу ступінь довіри .
2. У рівності 1 км = 1000 м число 1000 має чотири значущі цифри, так як нулі не замінюють собою невідомі цифри, а є вірними цифрами.
Більш точними числами вважають ті, в яких міститься більша кількість десяткових знаків. Як правило, такими числами є значення тригонометричних функцій і інші табличні значення.
Менш точними числами вважають ті, в яких міститься менша кількість десяткових знаків. Як правило, такими числами є результати різного роду вимірів.
Дії з наближеними числами виконують з дотриманням певних правил.
Правило 1. При додаванні наближені числа округлюють так, щоб в них залишалося на один десятковий знак більше, ніж в найбільш грубому слагаемом. Отриману суму округлюють до кількості десяткових знаків найбільш грубого доданка.
Приклад. Знайти суму чисел +1,2; -2,35; +3,454; +4,5543.
Рішення. + 1,2-2,35 + 3,45 + 4,55 = + 6,85 = +6,8.
Правило 2. При відніманні не слід робити округлення наближених чисел, так як може відбутися втрата точності остаточного результату (особливо в разі, коли зменшуване і від'ємник - числа, близькі по абсолютній величині).
Приклад. 47,104 - 47,1 = 0,004. Якщо зменшуване округлити, відкинувши останній десятковий знак, то в результаті різниця буде дорівнює нулю (47,10 - 47,1 = 0), що може внести помилку в остаточний результат обчислень.
Правило 3. При множенні і діленні наближені числа округлюють так, щоб в них залишалося на одну значущу цифру більше, ніж їх є в числі з найменшою кількістю значущих цифр. Отриманий результат округлюють до числа, що має стільки значущих цифр, скільки їх було в числі з найменшою кількістю значущих цифр.
1. Знайти твір 12,2 × 73,564.
Рішення. 12,2 × 73,56 = 897,5 = 898.
2. Знайти частка від ділення 25,713. 3,6.
Рішення. 25,7. 3,6 = 7,14 = 7,1.
Правило 4. При множенні наближеного числа на точне число До помилка твори збільшується в К раз, т. Е. Множення знижує точність остаточного результату.
Приклад. Наближене число 1,2 має помилку, рівну половині останнього знака: ± 0,05. При множенні на точне число К = 5 отримаємо 1,2 × 5 = 6,0. Якщо вважати, що число 1,2 вийшло в результаті округлення чисел 1,25 або 1,15, то отримаємо 1,25 × 5 = 6,25 або 1,15 × 5 = 5,75, т. Е. Можлива помилка кінцевого результату складе ± 0,25.
Правило 5. При розподілі наближеного числа на точне число До помилка приватного зменшується в До раз, т: е. Поділ підвищує точність остаточного результату.
Приклад. 1,2. 5 = 0,24. У той же час 1,25. 5 = 0,25 і 1,15. 5 = 0,23, т. Е. Можлива помилка результату складе всього ± 0,01.
Правило 6. Слід уникати поділу чисел на наближене число з малою кількістю значущих цифр, так як точність результату в цьому випадку знижується.
Приклад. 5286. 0,25 = 21144, однак за правилом 3 можна записати тільки 21000.
Правило 7. При зведенні наближеного числа в ступінь в остаточному результаті зберігають стільки значущих цифр, скільки було їх в найбільш наближеному числі.
Правило 8. При добуванні кореня з наближеного числа в остаточному результаті зберігають стільки значущих цифр, скільки було їх в найбільш наближеному числі.
Правило 9. При обчисленнях з великою кількістю операцій (дій) у всіх проміжних результатах зберігають на одну цифру більше, ніж вказано в попередніх правилах. Це дозволяє підвищити, точність 'остаточного результату. Остаточний результат округлюють згідно зазначених вимог.
Контрольні питання і вправи:
1. Які числа називаються округленням? Розповісти на прикладах про правило Гаусса по округлення наближених чисел.
2. Які цифри в наближеному числі називаються десятковими знаками, значущими цифрами і вірними цифрами? Навести приклад. Які числа є більш точними і менш точними?
3. Перерахувати основні правила дій з наближеними числами.
4. Вирішити приклади:
а) 12,356 + 17,4 + 0,95 + 141,03;
г) (88,213 × 214,3). (0,95 × 73,623).